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Puissance

Puissance des efforts extérieurs à un système en mouvement par rapport à un repère.

mardi 18 janvier 2005

Puissance :

Puissance des efforts extérieurs à un système en mouvement par rapport à un repère.

Soit un ensemble matériel E, en mouvement par rapport à un repère R
L’ensemble matériel E est soumis à une action mécanique représentée par un densité de force \overrightarrow {f\left( M \right)} (champ de force) relative à la mesure d* en chaque point M de (E).
La puissance dévellopée à un instant t par l’action mécanique représenté par la densité \overrightarrow {f\left( M \right)} relativement à d\mu dans le mouvement de (E) par rapport au repère R , est


La puissance s’exprime en Watt.
P_{\left( {\vec f\left( M \right) \to E/{\rm{R}}} \right)}  = \int_E {\overrightarrow {f\left( M \right)} }  \cdot \overrightarrow {V_{\left( {M/{\rm{R}}} \right)} } d\mu

Cas de la pesanteur (champ volumique)

\overrightarrow {f\left( M \right)}  = \rho \left( M \right) \cdot \overrightarrow {g\left( M \right)}
d\mu  = dv
P_{\left( {g \to E/{\rm{R}}} \right)}  = \int_E {\rho \left( M \right) \cdot \overrightarrow {g\left( M \right)} }  \cdot \overrightarrow {V_{\left( {M/{\rm{R}}} \right)} } dv
Cas des forces de pression d’un fluide

\overrightarrow {f\left( M \right)}  =  - p\left( M \right) \cdot \overrightarrow {n\left( M \right)}
d\mu  = ds
avec ; p\left( M \right) pression au point M
\vec n\left( M \right) normale à la surface dS au point M
P_{\left( {press \to E/{\rm{R}}} \right)}  = \int_E { - p\left( M \right) \cdot \overrightarrow {n\left( M \right)} }  \cdot \overrightarrow {V_{\left( {M/{\rm{R}}} \right)} } dS
Cas particulier du solide indéformable

Soit un solide S en mouvement par rapport à un repère R
Le mouvement de S par rapport à R est caractérisé par le torseur cinématique
\left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {\Omega _{S/{\rm{R}}} } }  \\   {\overrightarrow {V_{A \in S/{\rm{R}}} } }  \\\end{array}} \right\}_A
Le solide S est soumis en chaque point M à l’action mécanique caractérisée par la densité de force \overrightarrow {f\left( M \right)} , cette action mécanique élémentaire est représentée par le torseur : \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {dF}  = \overrightarrow {f\left( M \right)}  \cdot d\mu }  \\   {\vec 0}  \\\end{array}} \right\}_M
Le torseur résultant des actions sur S, réduit en A est donc :
\left\{ {{\rm{F}}_{f \to S} } \right\} = {}_A\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{f \to S} }  = \int_S {\overrightarrow {f\left( M \right)}  \cdot d\mu } }  \\   {\overrightarrow {M_{A,f \to S} }  = \int_S {\overrightarrow {AM}  \wedge \overrightarrow {f\left( M \right)}  \cdot d\mu } }  \\\end{array}} \right\}
d’où la puissance dévellopée par cette action mécanique sur le solide S : P_{\left( {\vec f\left( M \right) \to S/{\rm{R}}} \right)}  = \int_S {\overrightarrow {f\left( M \right)} }  \cdot \overrightarrow {V_{\left( {M \in S/{\rm{R}}} \right)} } d\mu
la composition des vitesses du solide nous donne :
P_{\left( {\vec f\left( M \right) \to S/{\rm{R}}} \right)}  = \int_S {\overrightarrow {f\left( M \right)}  \cdot \left( {\overrightarrow {V_{\left( {A \in S/{\rm{R}}} \right)} }  + \overrightarrow {\Omega _{\left( {S/{\rm{R}}} \right)} }  \wedge \overrightarrow {AM} } \right)d\mu }
P_{\left( {\vec f\left( M \right) \to S/{\rm{R}}} \right)}  = \int_S {\overrightarrow {f\left( M \right)}  \cdot \overrightarrow {V_{\left( {A \in S/{\rm{R}}} \right)} } d\mu }  + \int_S {\overrightarrow {f\left( M \right)}  \cdot \left( {\overrightarrow {\Omega _{\left( {S/{\rm{R}}} \right)} }  \wedge \overrightarrow {AM} } \right)d\mu }
P_{\left( {\vec f\left( M \right) \to S/{\rm{R}}} \right)}  = \overrightarrow {V_{\left( {A \in S/{\rm{R}}} \right)} }  \cdot \int_S {\overrightarrow {f\left( M \right)}  \cdot d\mu }  + \overrightarrow {\Omega _{\left( {S/{\rm{R}}} \right)} }  \cdot \int_S {\left( {\overrightarrow {AM}  \wedge \overrightarrow {f\left( M \right)} } \right)d\mu }
On reconnait le comoment des torseurs cinématique et des actions mécaniques
P_{\left( {\vec f\left( M \right) \to S/{\rm{R}}} \right)}  = \left\{ {{\rm{V}}_{\left( {S/{\rm{R}}} \right)} } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{F}}_{\left( {f \to S/{\rm{R}}} \right)} } \right\}

Enoncé

La puissance mécanique développée par les actions mécaniques agissant sur un solide S au cours de son mouvement par rapport à un repère R est égale au comoment du torseur cinématique de S /R et du torseur des actions mécaniques agissant sur S.

Remarques

Le comoment des torseurs ne dépend pas du point A choisi mais les deux torseurs doivent être réduit en un même point avant d’effectuer le calcul.
On choisit le point de réduction qui permet le calcul le plus simple possible.
La valeur de la puissance calculée dépend du repère dans lequel on la calcule.

Travail

On appelle travail d’une action mécanique entre l’instant t1 et l’instant t2, la quantité obtenue en sommant la puissance développée par cette action mécanique entre ces deux instants.
W_{t_1 ,t_2 }  = \int_{t_1 }^{t_2 } {P_{\left( {\vec f\left( M \right) \to S/{\rm{R}}} \right)} dt}
l’unité du travail est le joule.

Energie potentielle

Dans certain cas le travail ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des valeurs finale et initiale d’une quantité appelée énergie potentielle U.
donc W_{t_1 ,t_2 }  =  - \left( {U\left( {t_2 } \right) - U\left( {t_1 } \right)} \right)
La puissance s’obtient donc par dérivation de l’énergie potentielle
P_{\left( {\vec f\left( M \right) \to S/{\rm{R}}} \right)}  =  - \frac{{dU}}{{dt}}
La fonction U est aussi appelée fonction de force invariable (indépendante du temps)
Puissance des efforts intérieurs à un système de solides indéformables.

Soient deux solides S1 et S2 en mouvement par rapport à un repère galiléen et liés entre eux par une liaison. La puissance totale développée par les efforts de liaison entre les deux solides (Puissance des inter-efforts) se calcule par :
P_i \left( {S1,S2} \right) = P_{\left( {S2 \to S1/{\rm{R}}_0 } \right)}  + P_{\left( {S1 \to S2/{\rm{R}}_0 } \right)}

P_{\left( {S2 \to S1/{\rm{R}}_0 } \right)}  = \left\{ {{\rm{F}}_{S2 \to S1} } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S1/{\rm{R}}_0 } } \right\}
P_{\left( {S1 \to S2/{\rm{R}}_0 } \right)}  = \left\{ {{\rm{F}}_{S1 \to S2} } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S2/{\rm{R}}_0 } } \right\}
\left\{ {{\rm{F}}_{S1 \to S2} } \right\} =  - \left\{ {{\rm{F}}_{S2 \to S1} } \right\} (théorème des actions réciproques)
P_i \left( {S1,S2} \right) = \left\{ {{\rm{F}}_{S2 \to S1} } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S1/{\rm{R}}_{\rm{0}} } } \right\} - \left\{ {{\rm{F}}_{S2 \to S1} } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S2/{\rm{R}}_{\rm{0}} } } \right\}
P_i \left( {S1,S2} \right) = \left\{ {{\rm{F}}_{S2 \to S1} } \right\} \otimes \left( {\left\{ {{\rm{V}}_{S1/{\rm{R}}_{\rm{0}} } } \right\} - \left\{ {{\rm{V}}_{S2/{\rm{R}}_{\rm{0}} } } \right\}} \right)
P_i \left( {S1,S2} \right) = \left\{ {{\rm{F}}_{S2 \to S1} } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S1/{\rm{S}}2} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{S2 \to S1} } }  \\   {\overrightarrow {M_{A,S2 \to S1} } }  \\\end{array}} \right\}_A  \otimes \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {\Omega _{S1/{\rm{S}}2} } }  \\   {\overrightarrow {V_{A,S1/{\rm{S}}2} } }  \\\end{array}} \right\}_A
P_i \left( {S1,S2} \right) = \overrightarrow {R_{S2 \to S1} }  \cdot \overrightarrow {V_{A,S1/{\rm{S}}2} }  + \overrightarrow {M_{A,S2 \to S1} }  \cdot \overrightarrow {\Omega _{S1/{\rm{S}}2} }
La puissance des inter-efforts de liaison est indépendante du repère choisi pour la calculer
Liaison énergétiquement parfaite
On dit qu’une liaison entre solide est énergétiquement parfaite lorsque la puissance des inter-efforts de liaison est nulle.
P_i \left( {S1,S2} \right) = \overrightarrow {R_{S2 \to S1} }  \cdot \overrightarrow {V_{A,S1/{\rm{S}}2} }  + \overrightarrow {M_{A,S2 \to S1} }  \cdot \overrightarrow {\Omega _{S1/{\rm{S}}2} }
On se propose de déterminer à quelles conditions une liaison peut être énergétiquement parfaite
Contact ponctuel (rappel)

Soient deux solides en contact ponctuel en I
Le torseur d’action de contact s’écrit
\left\{ {{\rm{F}}_{1 \to 2} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{R}}_{1 \to 2} }  = N_{1 \to 2}  \cdot \vec n + \overrightarrow {T_{1 \to 2} } }  \\   {\overrightarrow {{\rm{M}}_{I,1 \to 2} }  = Mp_{1 \to 2}  \cdot \vec n + \overrightarrow {Mr_{1 \to 2} } }  \\\end{array}} \right\}_I

Etude de la résultante
Rappel : Lois de Coulomb
cas 1 : pas de Frottement : : f=0 \overrightarrow {{\rm{R}}_{1 \to 2} }  = N_{1 \to 2}  \cdot \vec n \overrightarrow {T_{1 \to 2} }  = \vec 0
cas 2 : glissement f \ne 0
alors \overrightarrow {V_{I \in 2/1} }  \ne \vec 0 mais \overrightarrow {V_{I \in 2/1} }  \cdot \vec n = 0 (maintien du contact)
donc \overrightarrow {T_{1 \to 2} }  \wedge \overrightarrow {V_{I \in 2/1} }  = \vec 0 (colinéaires) mais de sens opposés \overrightarrow {T_{1 \to 2} }  \cdot \overrightarrow {V_{I \in 2/1} }  \le 0
Le module de l’effort tangentiel est s’il y a glissement \left\| {\overrightarrow {T_{1 \to 2} } } \right\| \le f \cdot N_{1 \to 2} avec \left\| {\overrightarrow {T_{1 \to 2} } } \right\| = f \cdot N_{1 \to 2} à la limite du glissement.
cas 3 : Roulement sans glissement, f \ne 0
\overrightarrow {V_{I \in 2/1} }  = \vec 0, on a \left\| {\overrightarrow {T_{1 \to 2} } } \right\| \le f \cdot N_{1 \to 2}
Etude du Moment : Couple de résistance au pivotement et au roulement.
Par analogie avec le frottement de glissement, on définit une résistance au pivotement et au roulement.
Les lois de contact entre deux solides sont complexes, et des lois semblables aux lois de Coulomb pour les frottements de glissement ont été formulés pour modéliser ces phénomènes
Ces couples interviennent dès que le contact ne peut plus être considéré comme ponctuel mais suivant une surface localisée.

Données

Soit deux solides S2 et S1 en contact
Le torseur cinématique du mouvement d’un solide 2 par rapport à une solide 1 s’écrit \left\{ {V_{2/1} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {\Omega _{2/1} }  = \Omega p_{2/1}  \cdot \overrightarrow n  + \overrightarrow {\Omega r_{2/1} } }  \\   {\overrightarrow {V_{I,2/1} } }  \\\end{array}} \right\}_I avec
*  \cdot \overrightarrow n normale en I au contact
* \Omega p_{2/1} composante de pivotement du vecteur rotation de 2/1
* \overrightarrow {\Omega r_{2/1} } composante de roulement du vecteur rotation de 2/1
Le torseur des effort transmissibles de 1->2 s’écrit :
\left\{ {F_{1 \to 2} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{1 \to 2} }  = N_{1 \to 2}  \cdot \overrightarrow n  + \overrightarrow {T_{1 \to 2} } }  \\   {\overrightarrow {M_{I,1 \to 2} }  = Mp_{1 \to 2}  \cdot \overrightarrow n  + \overrightarrow {Mr_{1 \to 2} } }  \\\end{array}} \right\}_I avec
*N_{1 \to 2} Composante normale
* \overrightarrow {T_{1 \to 2} } Composante tangentielle
* Mp_{1 \to 2} couple de résistance au pivotement
* \overrightarrow {Mr_{1 \to 2} } couple de résistance au roulement
Couple de résistance au roulement.
Les lois de Coulomb pour le roulement s’écrivent :
S2 ne roule pas sur S1 \overrightarrow {\Omega r_{2/1} }  = \overrightarrow 0
Alors le couple de roulement vérifie la relation suivante \left\| {\overrightarrow {Mr_{1 \to 2} } } \right\| \le h \cdot \left| {N_{1 \to 2} } \right|
S2 roule sur S1 \overrightarrow {\Omega r_{2/1} }  \ne \overrightarrow 0
Alors \left\| {\overrightarrow {Mr_{1 \to 2} } } \right\| = h \cdot \left| {N_{1 \to 2} } \right| avec h Coefficient de résistance au roulement
Couple de résistance au pivotement.
Les lois de Coulomb pour le pivotement s’écrivent :
S2 ne pivote pas sur S1 \Omega p_{2/1}  = 0
Alors : le couple de Pivotement vérifie la relation \left| {Mp_{1 \to 2} } \right| \le k \cdot \left| {N_{1 \to 2} } \right|
S2 pivote sur S1 \Omega p_{2/1}  \ne 0
Alors \left| {Mp_{1 \to 2} } \right| = k \cdot \left| {N_{1 \to 2} } \right|
Pour la suite nous supposerons que \overrightarrow {{\rm{M}}_{I,1 \to 2} }  = \vec 0
Contat ponctuel parfait ?
cas 1 : pas de Frottement : : f=0
\left\{ {{\rm{F}}_{1 \to 2} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{R}}_{1 \to 2} }  = N_{1 \to 2}  \cdot \vec n}  \\   {\overrightarrow {{\rm{M}}_{I,1 \to 2} }  = \vec 0}  \\\end{array}} \right\}_I et \left\{ {{\rm{V}}_{2/1} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {\Omega _{2/1} } }  \\   {\overrightarrow {V_{I \in 2/1} } }  \\\end{array}} \right\}_I avec\overrightarrow {V_{I \in 2/1} }  \cdot \vec n = 0
P_i \left( {1,2} \right) = \left\{ {{\rm{F}}_{1 \to 2} } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{2/1} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{R}}_{1 \to 2} }  = N_{1 \to 2}  \cdot \vec n}  \\   {\vec 0}  \\\end{array}} \right\}_I  \otimes \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {\Omega _{2/1} } }  \\   {_{V_{I \in 2/1} } }  \\\end{array}} \right\}_I
La liaison est parfaite P_i \left( {1,2} \right) = N_{1 \to 2}  \cdot \vec n \cdot \overrightarrow {V_{I \in 2/1} }  = 0

cas 2 : glissement f \ne 0
\left\{ {{\rm{F}}_{1 \to 2} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{R}}_{1 \to 2} }  = N_{1 \to 2}  \cdot \vec n + \overrightarrow {T_{1 \to 2} } }  \\   {\overrightarrow {{\rm{M}}_{I,1 \to 2} }  = \vec 0}  \\\end{array}} \right\}_I
P_i \left( {1,2} \right) = \left\{ {{\rm{F}}_{1 \to 2} } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{2/1} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{R}}_{1 \to 2} }  = N_{1 \to 2}  \cdot \vec n + \overrightarrow {T_{1 \to 2} } }  \\   {\overrightarrow {{\rm{M}}_{I,1 \to 2} }  = \vec 0}  \\\end{array}} \right\}_I  \otimes \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {\Omega _{2/1} } }  \\   {\overrightarrow {V_{I \in 2/1} } }  \\\end{array}} \right\}_I
la puissance n’est pas nulle, la liaison n’est pas parfaite P_i \left( {1,2} \right) = \left( {N_{1 \to 2}  \cdot \vec n + \overrightarrow {T_{1 \to 2} } } \right) \cdot \overrightarrow {V_{I \in 2/1} }  \ne 0

cas 3 : Roulement sans glissement en I , f \ne 0
\left\{ {{\rm{F}}_{1 \to 2} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{R}}_{1 \to 2} }  = N_{1 \to 2}  \cdot \vec n + \overrightarrow {T_{1 \to 2} } }  \\   {\overrightarrow {{\rm{M}}_{I,1 \to 2} }  = \vec 0}  \\\end{array}} \right\}_I et \left\{ {{\rm{V}}_{2/1} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {\Omega _{2/1} } }  \\   {\overrightarrow {V_{I \in 2/1} }  = \vec 0}  \\\end{array}} \right\}_I
P_i \left( {1,2} \right) = \left\{ {{\rm{F}}_{1 \to 2} } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{2/1} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{R}}_{1 \to 2} }  = N_{1 \to 2}  \cdot \vec n + \overrightarrow {T_{1 \to 2} } }  \\   {\overrightarrow {{\rm{M}}_{I,1 \to 2} }  = \vec 0}  \\\end{array}} \right\}_I  \otimes \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {\Omega _{2/1} } }  \\   {\overrightarrow {V_{I \in 2/1} }  = \vec 0}  \\\end{array}} \right\}_I
La liaison est parfaite P_i \left( {1,2} \right) = 0

liaison normalisée parfaite
pour qu’une liaison normalisée soit parfaite, il faut que la puissance dissipée par la liaison soit nulle.

Théorème de l’énergie cinétique.

Cas d’un solide

énoncé
La puissance galiléenne développée par les actions mécaniques agissant sur un solide S est égale à la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléenne du solide .
P_{\left( {\bar S \to S/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  = \frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {S/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right]
démonstration
Soit un solide S de masse m en mouvement par rapport à un repère galiléen {\rm{R}}_g , , le Principe Fondamental de la Dynamique appliqué à ce solide s’écrit :
\left\{ {{\rm{F}}_{\bar S \to S} } \right\} = \left\{ {{\rm{D}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\}avec :
\left\{ {{\rm{F}}_{\bar S \to S} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{R}}_{\bar S \to S} } }  \\   {\overrightarrow {{\rm{M}}_{A,\bar S \to S} } }  \\\end{array}} \right\}_A  : torseur résultant des actions mécaniques extérieures à S s’exerçant sur S
\left\{ {{\rm{D}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} = {}_A\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\int_S {\overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} } dm} }  \\   {\int_S {\overrightarrow {AM}  \wedge \overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} } dm} }  \\\end{array}} \right\} : torseur dynamique du solide S dans sont mouvement par rapport à {\rm{R}}_g ,

Multiplions chaque membre de l’égalité par le torseur cinématique de S par rapport au repère galiléen {\rm{R}}_g  : \left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {\Omega _{S/{\rm{R}}_g } } }  \\   {\overrightarrow {V_{A \in S/{\rm{R}}_g } } }  \\\end{array}} \right\}_A
\left\{ {{\rm{F}}_{\bar S \to S} } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} = \left\{ {{\rm{D}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\}
Le terme de gauche représente la puissance galiléenne développée par les actions mécaniques extérieures à S sur S.
\left\{ {{\rm{F}}_{\bar S \to S} } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} = P_{\left( {\bar S \to S/{\rm{R}}_g } \right)}
Développons le second terme
\left\{ {{\rm{D}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\int_S {\overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} } dm} }  \\   {\int_S {\overrightarrow {AM}  \wedge \overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} } dm} }  \\\end{array}} \right\}_A  \otimes \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {\Omega _{S/{\rm{R}}_g } } }  \\   {\overrightarrow {V_{A \in S/{\rm{R}}_g } } }  \\\end{array}} \right\}_A
\left\{ {{\rm{D}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} = \int_S {\overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} } dm}  \cdot \overrightarrow {V_{A \in S/{\rm{R}}_g } }  + \int_S {\overrightarrow {AM}  \wedge \overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} } dm}  \cdot \overrightarrow {\Omega _{S/{\rm{R}}_g } }
Composition des vitesses
\overrightarrow {V_{A \in S/{\rm{R}}_g } }  = \overrightarrow {V_{M \in S/{\rm{R}}_g } }  + \overrightarrow {\Omega _{S/{\rm{R}}_g } }  \wedge \overrightarrow {MA}
en remplaçant dans le deuxième terme
\left\{ {{\rm{D}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} = \int_S {\overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} }  \cdot \left( {\overrightarrow {V_{M \in S/{\rm{R}}_g } }  + \overrightarrow {\Omega _{S/{\rm{R}}_g } }  \wedge \overrightarrow {MA} } \right)dm}  \cdot  + \int_S {\overrightarrow {AM}  \wedge \overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} } dm}  \cdot \overrightarrow {\Omega _{S/{\rm{R}}_g } }
\begin{array}{c} \left\{ {{\rm{D}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} = \int_S {\overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} }  \cdot \left( {\overrightarrow {V_{M \in S/{\rm{R}}_g } } } \right)dm}  + \int_S {\overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} }  \cdot \left( {\overrightarrow {\Omega _{S/{\rm{R}}_g } }  \wedge \overrightarrow {MA} } \right)dm}  \\   + \int_S {\left( {\overrightarrow {AM}  \wedge \overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} } } \right) \cdot \overrightarrow {\Omega _{S/{\rm{R}}_g } } dm}  \\  \end{array}
\begin{array}{c} \left\{ {{\rm{D}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} = \int_S {\overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} }  \cdot \left( {\overrightarrow {V_{M \in S/{\rm{R}}_g } } } \right)dm}  + \int_S {\overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} }  \cdot \left( {\overrightarrow {AM}  \wedge \overrightarrow {\Omega _{S/{\rm{R}}_g } } } \right)dm}  +  \\  \int_S {\left( {\overrightarrow {AM}  \wedge \overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} } } \right) \cdot \overrightarrow {\Omega _{S/{\rm{R}}_g } } dm}  \\  \end{array}

La somme des deux dernières intégrales est nulle (produits mixtes opposés )

le deuxième terme se simplifie donc : \left\{ {{\rm{D}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} = \int_S {\overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_g } \right)} }  \cdot \left( {\overrightarrow {V_{M \in S/{\rm{R}}_g } } } \right)dm}
par définition l’accélération est la dérivée par rapport au temps de la vitesse dans {\rm{R}}_g  : \overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} }  = \left[ {\frac{d}{{dt}}\overrightarrow {V_{M \in S/{\rm{R}}_{\rm{g}} } } } \right]_{{\rm{R}}_{\rm{g}} }
on remplace dans l’intégrale \left\{ {{\rm{D}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} = \int_S {\left[ {\frac{d}{{dt}}\overrightarrow {V_{M \in S/{\rm{R}}_{\rm{g}} } } } \right]_{{\rm{R}}_{\rm{g}} }  \cdot \left( {\overrightarrow {V_{M \in S/{\rm{R}}_{\rm{g}} } } } \right)dm}
on retrouve sous le signe intégrale la forme u \cdot du = \frac{1}{2}du^2 , donc \left\{ {{\rm{D}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} = \int_S {\frac{d}{{dt}}\left[ {\frac{1}{2}\overrightarrow {V_{M \in S/{\rm{R}}_{\rm{g}} } } ^2 } \right]dm}
on dérive un scalaire (indépendant du repère)
Compte tenu du principe de conservation de la masse on peut inverser l’intergration et la dérivation \left\{ {{\rm{D}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} \otimes \left\{ {{\rm{V}}_{S/{\rm{R}}_g } } \right\} = \frac{d}{{dt}}\left[ {\int_S {\frac{1}{2}\overrightarrow {V_{M \in S/{\rm{R}}_{\rm{g}} } } ^2 dm} } \right] = \frac{d}{{dt}}\left[ {T_{S/{\rm{R}}_g } } \right],
on reconnait la définition de l’énergie cinétique, donc :
P_{\left( {\bar S \to S/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  = \frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {S/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right]

cas de deux solides

démonstration
Soit un système matériel E composé de deux solides en mouvement par rapport à un repère galiléen.
Le théorème de la puissance appliqué a S1 donne P_{\left( {\bar S1 \to S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  = \frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right]
de même pour S2 P_{\left( {\bar S2 \to S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  = \frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right]
or P_{\left( {\bar S1 \to S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  = P_{\left( {\bar E \to S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  + P_{\left( {S2 \to S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}
et P_{\left( {\bar S2 \to S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  = P_{\left( {\bar E \to S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  + P_{\left( {S1 \to S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}
de plus \frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right] + \frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right] = \frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {E/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right]
en additionnant les deux premières égalités et en remplaçant
P_{\left( {\bar S1 \to S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  + P_{\left( {\bar S2 \to S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  = \frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right] + \frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right]
P_{\left( {\bar E \to S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  + P_{\left( {S2 \to S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  + P_{\left( {\bar E \to S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  + P_{\left( {S1 \to S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  = \frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {E/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right]
P_{\left( {\bar E \to S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  + P_{\left( {\bar E \to S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  + P_{\left( {S1 \to S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  + P_{\left( {S2 \to S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  = \frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {E/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right]
les deux premièrs termes représente la puissance galliléenne des efforts extérieurs au système E (puissance extérieure), P_{\left( {\bar E \to S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  + P_{\left( {\bar E \to S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  = P_{\left( {\bar E \to E/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} ,
les deux autres la puissance des inter-efforts au système matériel E (puissance intérieure) P_{\left( {S1 \to S2/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  + P_{\left( {S2 \to S1/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  = Pi_{\left( E \right)} .
donc la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléenne est égale à la somme des puissances mécaniques extérieures et intérieures au système de solides. \frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {E/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right] = P_{\left( {\bar E \to E/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  + Pi_{\left( E \right)}

Cas de n solides

Enoncé
En généralisant la relation précédente :
Pour tout mouvement d’un système de solide E, la dérivée de l’énergie cinétique galiléenne de E est égale à la somme de la puissance galiléenne développée par les actions mécaniques extérieures s’exerçant sur E et de la puissance des inter-efforts entre les solides de E.
\frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {E/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right] = P_{\left( {\bar E \to E/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  + Pi_{\left( E \right)}

Remarques

Le théorème de l’énergie cinétique permet d’obtenir un équation différentielle du second ordre caractéristique du mouvement, cette équation n’est pas indépendante des 6 équations obtenues à partir du PFD.
L’équation obtenue est en général utilisée pour déterminer la loi d’entrée-sortie d’un mécanisme à une mobilité.
Le théorème est difficile à mettre en œuvre si les puissances intérieures ne sont pas nulle ou ne dérive pas d’une fonction de force invariable.

Intégrale première de l’énergie cinétique

Lorsque les puissances intervenant dans le théorème de l’énérgie cinétique sont nulles ou dérivent d’une fonction de force (énergie potentielle au signe près),
les puissances extérieures sont donc de la forme
P_{\left( {\vec f\left( M \right) \to S/{\rm{R}}} \right)}  =  - \frac{{dU}}{{dt}}, le théorème de l’énergie cinétique s’écrit donc :
\frac{d}{{dt}}\left[ {T_{\left( {E/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right] =  - \frac{{dU}}{{dt}}
en intégrant cette équation on obtient : T_{\left( {E/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)}  =  - U + k
Remarque : cette égalité est caractéristique de la conservation de l’énergie mécanique, L’énergie mécanique se trouve sous la forme d’énergie cinétique et d’énergie potentielle par rapport à un repère galiléen.

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