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Equilibrage

Solide en rotation autour d’un axe fixe - Problème général de l’équilibrage

mardi 18 janvier 2005

Solide en rotation autour d’un axe fixe - Problème général de l’équilibrage

présentation

Dans le cas d’un mouvement de rotation, les vibrations dues à une mauvaise répartition des masses par rapport à l’axe (au centre) de la rotation induisent une usure et une détérioration rapide des paliers et créent une gêne pour l’utilisateur.
L’objet de l’équilibrage est de supprimer ces vibrations.

Equilibrage

données
R0\left( {O,\overrightarrow {x_0 } ,\overrightarrow {y_0 } ,\overrightarrow {z_0 } } \right)un repère galiléen.
Le solide S1 est en liaison pivot d’axe \left( {O,\overrightarrow {z_0 } } \right) par rapport au bâti S0.
Le repère R1\left( {O,\overrightarrow {x_1 } ,\overrightarrow {y_1 } ,\overrightarrow {z_0 } } \right) est lié au solide en rotation avec \left( {\overrightarrow {x_0 } ,\overrightarrow {x_1 } } \right) = \left( {\overrightarrow {y_0 } ,\overrightarrow {y_1 } } \right) = \theta .
m masse du solide
matrice d’inertie du solide en O. \overline{\overline {{\rm{J}}_O \left( {S_1 } \right)}}  = \left( {\begin{array}{*{20}c}   A & { - F} & { - E}  \\   { - F} & B & { - D}  \\   { - E} & { - D} & C  \\\end{array}} \right)_{\left( {\vec x_1 ,\vec y_1 ,\vec z_0 } \right)}
l’axe \left( {O,\overrightarrow {z_0 } } \right) est vertical ascendant.
\overrightarrow {OG}  = x_g  \cdot \overrightarrow {x_1 }  + z_g  \cdot \overrightarrow {z_0 }


Le solide à un mouvement de rotation uniforme \frac{{d\theta }}{{dt}} = \omega à l’instant t=0 \theta \left( 0 \right) = 0.

- Etude dynamique
Inventaire des actions extérieures appliquées au solide en rotation

|action de la pesanteur sur le solide |\left\{ {{\rm{P}}_{g \to S_1 } } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow P  =  - m \cdot g \cdot \overrightarrow {z_0 } }  \\   {\vec 0}  \\\end{array}} \right\}_G |
|action du bati à travers la liaison pivot |\left\{ {{\rm{S}}_{S_0  \to S_1 } } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{01} }  = X_{01}  \cdot \overrightarrow {x_1 }  + Y_{01}  \cdot \overrightarrow {y_1 }  + Z_{01}  \cdot \overrightarrow {z_0 } }  \\   {\overrightarrow {M_{01} }  = L_{01}  \cdot \overrightarrow {x_1 }  + M_{01}  \cdot \overrightarrow {y_1 } }  \\\end{array}} \right\}_O |

Détermination du torseur cinétique en O du solide S1 dans son mouvement par rapport à R0
Résultante cinétique
\begin{array}{l} \overrightarrow {p_{S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  = m \cdot \overrightarrow {V_{G \in S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  \\  \overrightarrow {p_{S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  = m \cdot \overrightarrow {\Omega _{S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  \wedge \overrightarrow {OG}  \\  \overrightarrow {p_{S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  = m \cdot \dot \theta  \cdot \overrightarrow {z_0 }  \wedge \left( {x_g  \cdot \overrightarrow {x_1 }  + z_g  \cdot \overrightarrow {z_0 } } \right) \\  \end{array}\vec p_{S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} }  = m \cdot \dot \theta  \cdot x_g  \cdot \vec y_1
Moment cinétique
\overrightarrow {\sigma _{O,S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  = \overline{\overline {{\rm{J}}_O \left( {S1} \right)}}  \cdot \overrightarrow {\Omega _{S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }
\overrightarrow {\sigma _{O,S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  = \left( {\begin{array}{*{20}c}   A & { - F} & { - E}  \\   { - F} & B & { - D}  \\   { - E} & { - D} & C  \\\end{array}} \right)_{\left( {\vec x_1 ,\vec y_1 ,\vec z_0 } \right)} \left( {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   0  \\   {\dot \theta }  \\\end{array}} \right)
\overrightarrow {\sigma _{O,S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  =  - E \cdot \dot \theta  \cdot \overrightarrow {x_1 }  - D \cdot \dot \theta  \cdot \overrightarrow {y_1 }  + C \cdot \dot \theta  \cdot \overrightarrow {z_0 }

Détermination du torseur dynamique en O du solide S1 dans son mouvement par rapport à R0

- Résultante dynamique
\begin{array}{l} \overrightarrow {{\rm{A}}_{S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  = m \cdot \overrightarrow {\Gamma _{G \in S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  \\  \overrightarrow {{\rm{A}}_{S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  = m \cdot \frac{d}{{dt}}\left[ {\overrightarrow {V_{G \in S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } } } \right]_{{\rm{R}}_{\rm{0}} }  \\  \end{array}
\overrightarrow {{\rm{A}}_{S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  = m \cdot \frac{d}{{dt}}\left[ {\dot \theta  \cdot x_g  \cdot \overrightarrow {y_1 } } \right]_{{\rm{R}}_{\rm{0}} }
\overrightarrow {{\rm{A}}_{S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  = m \cdot \ddot \theta  \cdot x_g  \cdot \overrightarrow {y_1 }  - m \cdot \dot \theta ^2  \cdot x_g  \cdot \overrightarrow {x_1 }

- Moment dynamique en O
O est un point fixe dans R0 donc :
\begin{array}{l} \overrightarrow {\delta _{O,S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  = \frac{d}{{dt}}\left[ {\overrightarrow {\sigma _{O,S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } } } \right]_{{\rm{R}}_{\rm{0}} }  \\  \overrightarrow {\delta _{O,S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  = \frac{d}{{dt}}\left[ { - E \cdot \dot \theta  \cdot \overrightarrow {x_1 }  - D \cdot \dot \theta  \cdot \overrightarrow {y_1 }  + C \cdot \dot \theta  \cdot \overrightarrow {z_0 } } \right]_{{\rm{R}}_{\rm{0}} }  \\  \end{array}
\overrightarrow {\delta _{O,S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  =  - E \cdot \ddot \theta  \cdot \overrightarrow {x_1 }  - D \cdot \ddot \theta  \cdot \overrightarrow {y_1 }  + C \cdot- \ddot \theta  \cdot \overrightarrow {z_0 }  - E \cdot \dot \theta ^2  \cdot \overrightarrow {y_1 }  - D \cdot \dot \theta ^2  \cdot \overrightarrow {x_1 }
\overrightarrow {\delta _{O,S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } }  = \left( { - E \cdot \ddot \theta  \cdot  + D \cdot \dot \theta ^2 } \right) \cdot \overrightarrow {x_1 }  - \left( {D \cdot \ddot \theta  \cdot  + E \cdot \dot \theta ^2 } \right) \cdot \overrightarrow {y_1 }  + C \cdot \ddot \theta  \cdot \overrightarrow {z_0 }

- Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide S1
\left\{ {{\rm{D}}_{S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } } \right\} = \left\{ {{\rm{P}}_{g \to S_1 } } \right\} + \left\{ {{\rm{S}}_{S_0  \to S_1 } } \right\}

\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{A}}_{S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } } }  \\   {\overrightarrow {\delta _{O,S_1 /{\rm{R}}_{\rm{0}} } } }  \\\end{array}} \right\} = {}_0\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\vec P =  - m \cdot g \cdot \overrightarrow {z_0 } }  \\   {\overrightarrow {OG}  \wedge \vec P = m \cdot x_g  \cdot g \cdot \overrightarrow {y_1 } }  \\\end{array}} \right\} + \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{01} }  = X_{01}  \cdot \overrightarrow {x_1 }  + Y_{01}  \cdot \overrightarrow {y_1 }  + Z_{01}  \cdot \overrightarrow {z_0 } }  \\   {\overrightarrow {M_{01} }  = L_{01}  \cdot \overrightarrow {x_1 }  + M_{01}  \cdot \overrightarrow {y_1 } }  \\\end{array}} \right\}_O

  • théorème de la résultante dynamique (en projection)
    \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   { - m \cdot \dot \theta ^2  \cdot x_g  = X_{01} }  \\   {m \cdot \ddot \theta  \cdot x_g  = Y_{01} }  \\   {0 =  - m \cdot g + Z_{01} }  \\\end{array}} \right
  • théorème du moment dynamique
    \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\left( { - E \cdot \ddot \theta  \cdot  + D \cdot \dot \theta ^2 } \right) = L_{01} }  \\   { - \left( {D \cdot \ddot \theta  \cdot  + E \cdot \dot \theta ^2 } \right) = m \cdot x_g  \cdot g + M_{01}  \cdot }  \\   {C \cdot \ddot \theta  = 0}  \\\end{array}} \right.

Le rotor seul tourne à vitesse constante (3ème équation du moment dynamique), donc :

\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   { - m \cdot \dot \theta ^{~;2}  \cdot x_g  = X_{01} }  \\   {0 = Y_{01} }  \\   {m \cdot g = Z_{01} }  \\\end{array}} \right.
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {D \cdot \dot \theta ^2  = L_{01} }  \\   { - E \cdot \dot \theta ^2  - m \cdot x_g  \cdot g = M_{01}  \cdot }  \\   {0 = 0}  \\\end{array}} \right.
On s’aperçoit que les efforts (résultante et moment )dans la liaison pivot sont fonction de \dot \theta .
On dit qu’un mobile en rotation S1 est équilibré lorsque -s’il tourne à vitesse constante- les paliers (ici liaison pivot) n’encaisse que des efforts dus aux actions extérieures (poids, etc) mais pas les effets d’inertie.
Equilibrage statique
On dit qu’un solide en rotation est équilibré statiquement lorsque le centre d’inertie est sur l’axe de rotation.
Dans l’exemple précédent x_g  = 0
Lors d’un équilibrage statique seul les effets d’inertie dû à la résultante sont annulés
Equilibrage dynamique
On dit qu’un solide est équilibré dynamiquement, s’il est équilibré statiquement et que les produits d’inertie sont nuls.
Principe de l’équilibrage
Equilibrer un solide en rotation revient à annuler les différents termes ci dessus, pour cela on rajoute au solide en rotation des masses ponctuelles M_i de telle sorte que la matrice d’inertie en un point de l’axe de rotation du système composé du solide S1 en rotation et des masses soit diagonale dans une base comportant l’axe de rotation et que le centre d’inertie de l’ensemble soit sur l’axe de rotation.
Equilibrage à 2 masses
soit la masse M_1 de masse m_1
avec \overrightarrow {OM_1 }  = x_{m1}  \cdot \overrightarrow {x_1 }  + y_{m1}  \cdot \overrightarrow {y_1 }  + z_{m1}  \cdot \overrightarrow {z_0 }
soit la masse M_2 de masse m_2
avec \overrightarrow {OM_2 }  = x_{m2}  \cdot \overrightarrow {x_1 }  + y_{m2}  \cdot \overrightarrow {y_1 }  + z_{m2}  \cdot \overrightarrow {z_0 }
matrice d’inertie pour une masse ponctuelle par rapport à un axe de rotation
\overline{\overline {{\rm{J}}_O \left( {M_1 } \right)}}  = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {\int_S {\left( {y_1 ^2  + z_1 ^2 } \right)dm} } & { - \int_S { \cdot x_1  \cdot y_1 dm} } & { - \int_S {x_1  \cdot z_1 dm} }  \\   { - \int_S {x_1  \cdot y} _1 dm} & {\int_S {\left( {x_1 ^2  + z_1 ^2 } \right)dm} } & { - \int_S {y_1  \cdot z_1 dm} }  \\   { - \int_S {x_1  \cdot z_1 dm} } & { - \int_S {y_1  \cdot z_1 dm} } & {\int_S {\left( {x_1 ^2  + y_1 ^2 } \right)dm} }  \\\end{array}} \right)_{\left( {\vec x_1 ,\vec y_1 ,\vec z_0 } \right)}
\overline{\overline {{\rm{J}}_O \left( {M_1 } \right)}}  = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {\left( {y_1 ^2  + z_1 ^2 } \right)m_1 } & { -  \cdot x_1  \cdot y_1 m_1 } & { - x_1  \cdot z_1 m_1 }  \\   { - x_1  \cdot z_1 } & {\left( {x_1 ^2  + z_1 ^2 } \right)m_1 } & { - y_1  \cdot z_1 m_1 }  \\   { - x_1  \cdot z_1 m_1 } & { - y_1  \cdot z_1 m_1 } & {\left( {x_1 ^2  + y_1 ^2 } \right)m_1 }  \\\end{array}} \right)_{\left( {\vec x_1 ,\vec y_1 ,\vec z_0 } \right)}
caractéristiques cinétiques de l’ensemble matériel E = S_1  \cup M_1  \cup M_2
La masse totale de E est donc :
m_E  = m + m_1  + m_2
La matrice d’inertie de l’ensemble matériel E est donc

Torseur dynamique de E /R0
En substituant dans les équations précédentes
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   { - m_E  \cdot \dot \theta ^{~;2}  \cdot x_{gE}  = X_{01} }  \\   {0 = Y_{01} }  \\   {m \cdot g = Z_{01} }  \\\end{array}} \right.
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\left( {D + y_1  \cdot z_1 m_1  + y_2  \cdot z_2 m_2 } \right) \cdot \dot \theta ^2  = L_{01} }  \\   { - \left( {E + x_1  \cdot z_1 m_1  + x_2  \cdot z_2 m_2 } \right)\dot \theta ^2  - m \cdot x_g  \cdot g = M_{01}  \cdot }  \\   {0 = 0}  \\\end{array}} \right.
Equilibrage statique
Pour réaliser l’équilibrage statique il faut que le centre de gravité de l’ensemble soit sur l’axe de rotation
Le centre d’inertie de l’ensemble est défini par :
\left( {m + m_1  + m_2 } \right)\overrightarrow {OG_E }  = m\overrightarrow {OG}  + m_1  \cdot \overrightarrow {OG_1 }  + m_2  \cdot \overrightarrow {OG_2 } \left( {m + m_1  + m_2 } \right)\overrightarrow {OG_E }  = m\left( {x_g  \cdot \overrightarrow {x_1 }  + z_g  \cdot \overrightarrow {z_0 } } \right) + m_1  \cdot \left( {x_1  \cdot \overrightarrow {x_1 }  + y_1  \cdot \overrightarrow {y_1 }  + z_1  \cdot \overrightarrow {z_0 } } \right) + m_2  \cdot \left( {x_2  \cdot \overrightarrow {x_1 }  + y_2  \cdot \overrightarrow {y_1 }  + z_2  \cdot \overrightarrow {z_0 } } \right)
L’équilibrage statique est réalisé si le centre d’inertie est sur l’axe de rotation
(1) \overrightarrow {OG_E }  \cdot \overrightarrow {x_1 }  = 0 \Rightarrow mx_g  + m_1  \cdot x_1  + m_2  \cdot x_2  = 0
(2) \overrightarrow {OG_E }  \cdot \overrightarrow {y_1 }  = 0 \Rightarrow m_1  \cdot y_1  + m_2  \cdot y_2  = 0
Equilibrage dynamique
les produits d’inertie de l’ensemble intervenant dans l’équilibrage doivent être nuls (ici D et E)
(3) D + y_1  \cdot z_1 m_1  + y_2  \cdot z_2 m_2  = 0
(4) E + x_1  \cdot z_1 m_1  + x_2  \cdot z_2 m_2  = 0
On s’aperçoit que pour réaliser ces équilibrages il faut respecter 4 équations de 8 inconnues. Il existe donc une infinité de solutions
Dans la réalité des contraintes pratiques de réalisation limite le nombre de solution. Dans le cas d’un pneu les masses d’équilibrage sont fixées sur le pourtour de la jante et de chaque coté du pneu
on a donc
(5) \sqrt {x_1 ^2  + y_1 ^2 }  = R
(6) \sqrt {x_2 ^2  + y_2 ^2 }  = R
(7) z_1  = 0
(8) z_2  = 0
De plus en écrivant les équation en coordonnées cylindriques on obtient les 4 équations suivantes permettant de déterminer la position et la masse des masselottes.
(1) mx_g  + m_1  \cdot R \cdot \cos \alpha _1  + m_2  \cdot R \cdot \cos \alpha _2  = 0
(2) m_1  \cdot R \cdot \sin \alpha _1  + m_2  \cdot R \cdot \sin \alpha _2  = 0
(3) D + R \cdot \sin \alpha _2  \cdot l \cdot m_2  = 0
(4) E + R \cdot \cos \alpha _2  \cdot l \cdot m_2  = 0
on tire de ces 4 équations les valeurs recherchées à partir de la détermination expérimentale de m, xg, D, E sur une machine d’équilibrage, ces valeurs sont déduites des efforts mesurés sur les paliers de la machine.

Messages

  • Bonjour,
    Un bel exercice.
    Je pense que le torseur de la liaison pivot doit s’écrire au point O et non G qui n’appartient pas à l’axe. L’écriture du pfd sera plus cohérente avec 3 torseurs réduits au même point.
    On pourrait aussi souligner que les efforts finaux sont constants....car ils sont écrits dans la base R1 qui est tournante. J’ai mis un temps à percuter. Une projection dans R0 révélerait l’effet vibration.
    En tout cas bravo, les sites de belle méca type prépa ne courent pas les rues

  • Est ce que l’équilibrage dynamique entraine l’équilibrage statique ?
    Je crois dur comme pierre que oui mais je n’ai pas de preuve et il n’y a personne qui voudrais me conseiller la dessus.
    Merci de bien vouloir me répondre.

    • L’article le dit clairement : un équilibre dynamique, c’est lorsqu’il y a déjà le statique et que l’on ajoute la condition des 3 produits d’inertie nuls.
      La question à se poser est : est-ce que D=E=F=0 n’impose pas naturellement le point G sur l’axe ?
      Je suis tenté de dire non (me confirmer svp). Pourtant, 2 symétries annulent les 3 produits d’inertie et imposent G sur l’axe...c’est le cas classique des pièces mécanique courantes.
      Mais je crois que ces symétries sont des conditions suffisantes et Non nécessaires pour annuler nos 3 valeurs.
      En effet, en imaginant une pièce type plaque (xy comme dans l’article), on annule déjà D et E.
      Pour annuler F, je simplifie cette pièce à deux masses ponctuelles pour m’affranchir des intégrales : une masse M de coordonnées (x ;y) et une autre masse 2*M au point (x ;y/2)......et voilà un point G en dehors de l’axe.
      Il y a du balourd qui créent une force tournante dans la pivot.
      Il n’y a pas de moment L ou M.(avec ou sans F d’ailleurs)
      Voilà, j’attends vos retours
      À bientôt

    • effectivement, G n’est pas forcément sur l’axe de rotation (votre exemple le prouve) et votre raisonnement se tient

  • Il y a un problème d’affichage du théorème de la résultante dynamique.