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Opérateur d’inertie

samedi 13 octobre 2012

L’opérateur d’inertie permet de synthétiser l’ensemble des caractéristiques d’inertie du solide, Cet opérateur est une fonction linéaire et peut être représenté par une matrice.

définition

On appelle opérateur d’inertie {\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right)au point O d’un solide S l’opérateur qui à tout vecteur \vec u de l’espace associe le vecteur
{\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OP}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right)} \right)} dm
{\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u =  - \int_S {\left( {\overrightarrow {OP}  \wedge \left( {\overrightarrow {OP}  \wedge \vec u} \right)} \right)} dm

Matrice d’inertie

Soit un repère R\left( {O,\vec x,\vec y,\vec z} \right), un point P de coordonnées x, y, z dans R, B la base \left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)
\overrightarrow {OP}  = x \cdot \vec x + y \cdot \vec y + z \cdot \vec z
\vec u = \alpha  \cdot \vec x + \beta  \cdot \vec y + \gamma  \cdot \vec z
déterminons le double produit vectoriel.
{\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OP}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right)} \right)} dm
\begin{array}{c} \overrightarrow {OP}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right) = \left( {\alpha  \cdot \left( {y^2  + z^2 } \right) - \beta  \cdot x \cdot y - \gamma  \cdot x \cdot z} \right) \cdot \vec x \\   + \left( { - \alpha  \cdot x \cdot y + \beta \left( {x^2  + z^2 } \right) - \gamma  \cdot y \cdot z} \right) \cdot \vec y \\   + \left( { - \alpha  \cdot x \cdot z - \beta  \cdot y \cdot z + \gamma \left( {x^2  + y^2 } \right)} \right) \cdot \vec z \\  \end{array}
en effectuant l’intégration on obtient :
{\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OP}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right)} \right)} dm

\begin{array}{c} {\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \left( {\alpha  \cdot \int_S {\left( {y^2  + z^2 } \right)dm}  - \beta \int_S { \cdot x \cdot ydm}  - \gamma \int_S {x \cdot zdm} } \right) \cdot \vec x \\  \left( { - \alpha  \cdot \int_S {x \cdot y} dm + \beta \int_S {\left( {x^2  + z^2 } \right)dm}  - \gamma \int_S {y \cdot zdm} } \right) \cdot \vec y \\  \left( { - \alpha  \cdot \int_S {x \cdot zdm}  - \beta \int_S {y \cdot zdm}  + \gamma \int_S {\left( {x^2  + y^2 } \right)dm} } \right) \cdot \vec z \\  \end{array}
On a bien le produit d’une matrice par un vecteur \vec u = \alpha  \cdot \vec x + \beta  \cdot \vec y + \gamma  \cdot \vec z
{\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OP}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right)} \right)} dm = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {\int_S {\left( {y^2  + z^2 } \right)dm} } & { - \int_S { \cdot x \cdot ydm} } & { - \int_S {x \cdot zdm} }  \\   { - \int_S {x \cdot y} dm} & {\int_S {\left( {x^2  + z^2 } \right)dm} } & { - \int_S {y \cdot zdm} }  \\   { - \int_S {x \cdot zdm} } & { - \int_S {y \cdot zdm} } & {\int_S {\left( {x^2  + y^2 } \right)dm} }  \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)} \left( {\begin{array}{*{20}c}   \alpha   \\   \beta   \\   \gamma   \\\end{array}} \right)
On pose par convention
{\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   A & { - F} & { - E}  \\   { - F} & B & { - D}  \\   { - E} & { - D} & C  \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)} ou bien {\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {I_{Ox} } & { - P_{xy} } & { - P_{xz} }  \\   { - P_{xy} } & {I_{Oy} } & { - P_{yz} }  \\   { - P_{xz} } & { - P_{yz} } & {I_{Oz} }  \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}
A=I_{O\vec x} \left( S \right) = \int_S {\left( {y^2  + z^2 } \right)dm}  : moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe (O\vec x).
B=I_{O\vec y} \left( S \right) = \int_S {\left( {x^2  + z^2 } \right)dm}  : moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe (O\vec y).
C=I_{O\vec z} \left( S \right) = \int_S {\left( {x^2  + y^2 } \right)dm} :moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe (O\vec z).
D= produit d’inertie du solide S par rapport aux axes (O\vec y) et (O\vec z).
E= produit d’inertie du solide S par rapport aux axes (O\vec x) et (O\vec z).
F= produit d’inertie du solide S par rapport aux axes (O\vec x) et (O\vec y).

Expression du moment d’inertie par rapport à un axe quelconque

Par définition le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe *\left( {O,\vec \delta } \right) passant par O est :
I_\Delta  \left( S \right) = \int_S {\left( {\vec \delta  \wedge \overrightarrow {OM} } \right)^2 dm}
I_\Delta  \left( S \right) = \int_S {\left( {\vec \delta  \wedge \overrightarrow {OM} } \right) \cdot \left( {\vec \delta  \wedge \overrightarrow {OM} } \right)dm}
le terme sous l’intégrale peut être considéré comme le produit mixte des vecteurs \vec \delta , \overrightarrow {OM} et \vec \delta  \wedge \overrightarrow {OM}  :
I_\Delta  \left( S \right) = \int_S {\left( {\vec \delta ,\overrightarrow {OM} ,\vec \delta  \wedge \overrightarrow {OM} } \right)dm}
en permutant les termes du produit mixte on obtient : I_\Delta  \left( S \right) = \int_S {\left( {\overrightarrow {OM} ,\vec \delta  \wedge \overrightarrow {OM} ,\vec \delta } \right)dm} , c’est à dire’
I_\Delta  \left( S \right) = \int_S {\left( {\overrightarrow {OM}  \wedge \left( {\vec \delta  \wedge \overrightarrow {OM} } \right) \cdot \vec \delta } \right)dm} puis
I_\Delta  \left( S \right) = \vec \delta  \cdot \int_S {\left( {\overrightarrow {OM}  \wedge \left( {\vec \delta  \wedge \overrightarrow {OM} } \right)} \right)dm}
on reconnaît l’opérateur d’inertie au point O du solide S.
On obtient donc le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe *\left( {O,\vec \delta } \right) en effectuant le produit scalaire de \vec \delta et de la transformation de \vec \delta par l’opérateur d’inertie du solide en O
I_\Delta  \left( S \right) = \vec \delta  \cdot {\rm{\bar \bar J}}_O (S) \cdot \vec \delta
Propriétés et directions principales de la matrice d’inertie.
La matrice d’inertie permet de synthétiser les caractéristiques d’inerties d’un solide S, on retrouve dans cette matrice les particularités géométriques du solide, c’est à dire les symétries (symétrie/plan, /2 plans, de révolution).

Solide avec un plan de symétrie


Lorsque le solide possède un plan de symétrie, les produits d’inertie comportant la normale au plan de symétrie sont nuls.
Démonstration : le solide S possède un plan de symétrie, ici (O,\vec x,\vec y), l’axe \vec z est normal à ce plan

D=\int_S {yzdm} produit d’inertie du solide S par rapport aux axes (O\vec y) et (O\vec z).
E= \int_S {xzdm} produit d’inertie du solide S par rapport aux axes (O\vec x) et (O\vec z).
D = \int_S {yzdm}  = \int_{S1} {yzdm}  + \int_{S2} {yzdm}
le solide ayant le plan (O,\vec x,\vec y) comme plan de symétrie, on a :
\int_{S2} {yzdm}  = \int_{S1} {y\left( { - z} \right)dm}  =  - \int_{S1} {yzdm}
D=0, de même E=0
d’où la matrice d’inertie du solide S :
{\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   A & { - F} & 0  \\   { - F} & B & 0  \\   0 & 0 & C  \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}
Solide avec 2 plans de symétrie.
si deux plans parmi les trois (O,\vec x,\vec y), (O,\vec x,\vec z), (O,\vec y,\vec z) sont des plans de symétrie matérielle, alors les trois produits d’inerties sont nuls
La matrice d’inertie est donc diagonale :
{\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   A & 0 & 0  \\   0 & B & 0  \\   0 & 0 & C  \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}

Symétrie de révolution
Si l’axe (O,\vec z) est un axe de révolution matérielle, alors les moments d’inertie suivant (O,\vec x) et (O,\vec y) sont égaux.
La matrice d’inertie est donc : {\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   A & 0 & 0  \\   0 & A & 0  \\   0 & 0 & C  \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}
Nota
La matrice d’inertie d’un solide possédant des symétries comporte des produits d’inerties nuls si cette matrice est écrite dans une base caractéristique de cette symétrie
Axes principaux d’inertie, base principale d’inertie.
La matrice d’inertie étant une matrice réelle et symétrique, il existe pour tout point A une base orthogonale de vecteurs propres B’ \left( {\vec x’,\vec y’,\vec z’} \right), dans cette base la matrice d’inertie du solide S au point A est une matrice diagonale. {\rm{\bar \bar J}}_A \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {A’} & 0 & 0  \\   0 & {B’} & 0  \\   0 & 0 & {C’}  \\\end{array}} \right)_{{\rm{B’}}\left( {\vec x’,\vec y’,\vec z’} \right)} .
Cette base est appelée base principale d’inertie au point A.
Les axes (A,\vec x’), (A,\vec y’) et (A,\vec z’) principaux d’inertie.
A’,B’ et C’ sont les moments principaux d’inertie.
Si au lieu de prendre un point A quelconque, on prend le centre d’inertie G, la base B’, est la base centrale d’inertie et les moments A’, B’ et C’ sont les moments centraux d’inertie.

Remarque :
Les axes caractéristiques d’un solide (symétries) sont des axes principaux d’inertie.

Changement de point, théorème de Huygens généralisé

Soit B la base \left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)
On recherche la relation entre la matrice d’inertie en O du solide S et la matrice d’inertie en G (centre d’inertie du solide S).
Par définition l’opérateur d’inertie (matrice d’inertie) du solide au point O dans la base B :
{\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OM}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OM} } \right)} \right)} dm
{\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\left( {\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GM} } \right) \wedge \left( {\vec u \wedge \left( {\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} \right)} dm

\begin{array}{c} {\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OG}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm + \int_S {\left( {\left( {\overrightarrow {OG} } \right) \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm \\   + \int_S {\left( {\overrightarrow {GM}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm + \int_S {\left( {\overrightarrow {GM}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm \\  \end{array}
or les deuxième et troisième termes sont nuls
\begin{array}{c} \int_S {\left( {\left( {\overrightarrow {OG} } \right) \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm = \overrightarrow {OG}  \wedge \left( {\vec u \wedge \int_S {\overrightarrow {GM} dm} } \right) = \vec 0 \\  \int_S {\left( {\overrightarrow {GM}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm = \left( {\int_S {\overrightarrow {GM} dm} } \right) \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right) = \vec 0 \\  \end{array}
donc :{\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OG}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm + \int_S {\left( {\overrightarrow {GM}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm
or par définition de l’opérateur d’inertie du solide S en G : \int_S {\left( {\overrightarrow {GM}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm = {\rm{\bar \bar J}}_G \left( S \right) \cdot \vec u
la deuxième intégrale donne m : \int_S {\left( {\overrightarrow {OG}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm = m\overrightarrow {OG}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)
d’ou le théorème de Huygens généralisé
{\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = {\rm{\bar \bar J}}_G \left( S \right) \cdot \vec u + m\overrightarrow {OG}  \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)
En posant \overrightarrow {OG}  = a \cdot \vec x + b \cdot \vec y + c \cdot \vec z
Les matrices d’inertie en G et O s’écrivent :
\left( {\begin{array}{*{20}c}   {A_O } & { - F_O } & { - E_O }  \\   { - F_O } & {B_O } & { - D_O }  \\   { - E_O } & { - D_O } & {C_O }  \\\end{array}} \right)_{\rm{B}}  = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {A_G } & { - F_G } & { - E_G }  \\   { - F_G } & {B_G } & { - D_G }  \\   { - E_G } & { - D_G } & {C_G }  \\\end{array}} \right)_{\rm{B}}  + \left( {\begin{array}{*{20}c}   {m\left( {b^2  + c^2 } \right)} & { - mab} & { - mac}  \\   { - mab} & {m\left( {a^2  + c^2 } \right)} & { - mbc}  \\   { - mac} & { - mbc} & {m\left( {a^2  + b^2 } \right)}  \\\end{array}} \right)_{\rm{B}}
donc : \begin{array}{l} A_O  = A_G  + m\left( {b^2  + c^2 } \right) \\  B_O  = B_G  + m\left( {a^2  + c^2 } \right) \\  C_O  = C_G  + m\left( {a^2  + b^2 } \right) \\  \end{array} \begin{array}{l} D_O  = D_G  + mbc \\  E_O  = E_G  + mac \\  F_O  = F_G  + mab \\  \end{array}

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