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Matrice d’inertie des solides élémentaires

dimanche 5 décembre 2004, par papanicola robert

Cylindre
masse m
longueur l
rayon R
symétrie de révolution axe \left( {O,\vec z} \right)
D=E=F=0 et A=B

A = B = \int_{Cyl} {\left( {y^2  + z^2 } \right)dm}  = m\left( {\frac{{R^2 }}{4} + \frac{{l^2 }}{{12}}} \right)

C = \int_{Cyl} {\left( {x^2  + y^2 } \right)dm = m\frac{{R^2 }}{2}}

{\rm{\bar \bar J}}_G \left( {Cyl} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {m\left( {\frac{{R^2 }}{4} + \frac{{l^2 }}{{12}}} \right)} & 0 & 0  \   0 & {m\left( {\frac{{R^2 }}{4} + \frac{{l^2 }}{{12}}} \right)} & 0  \   0 & 0 & {m\frac{{R^2 }}{2}}  \\end{array}} \right)_{\left( {\vec ?,\vec ?,\vec z} \right)} en G

Disque
masse m

rayon R

épaisseur e

symétrie de révolution axe \left( {O,\vec z} \right)

{\rm{\bar \bar J}}_G \left( {Dis} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {m\frac{{R^2 }}{4}} & 0 & 0  \   0 & {m\frac{{R^2 }}{4}} & 0  \   0 & 0 & {m\frac{{R^2 }}{2}}  \\end{array}} \right)_{\left( {\vec ?,\vec ?,\vec z} \right)} en G

Tige rectiligne
masse m

Longueur L

rayon r<<L

symétrie de révolution axe \left( {O,\vec z} \right)

{\rm{\bar \bar J}}_G \left( {tige} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {m\frac{{L^2 }}{{12}}} & 0 & 0  \   0 & {m\frac{{L^2 }}{{12}}} & 0  \   0 & 0 & 0  \\end{array}} \right)_{\left( {\vec&nbsp;?,\vec&nbsp;?,\vec z} \right)} en G

Sphère pleine
masse m

rayon R

Symétrie sphérique

{\rm{\bar \bar J}}_G \left( {Sph`e re} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {2m\frac{{R^2 }}{5}} & 0 & 0  \   0 & {2m\frac{{R^2 }}{5}} & 0  \   0 & 0 & {2m\frac{{R^2 }}{5}}  \\end{array}} \right)_{\left( {\vec&nbsp;?,\vec&nbsp;?,\vec&nbsp;?} \right)} en G

pour toute base.

Parallélépipède
masse m
{\rm{\bar \bar J}}_G \left( {para} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {\frac{{m\left( {b^2  + c^2 } \right)}}{{12}}} & 0 & 0  \   0 & {\frac{{m\left( {a^2  + c^2 } \right)}}{{12}}} & 0  \   0 & 0 & {\frac{{m\left( {a^2  + b^2 } \right)}}{{12}}}  \\end{array}} \right)_{\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)} en G

pour le cube

A = B = C = \frac{{ma^2 }}{6}

Vos commentaires

  • Le 1er janvier 2006 à 20:57, par dam3364 En réponse à : 1 requête

    Pourrais t on avoir les cours de dynamique au format pdf , s’il vous plait
    par exemple :

  • Le 1er janvier 2006 à 21:00, par papanicola robert En réponse à : 1 requête

    non

    un petit copier/coller dans word ou open office permet d’avoir une trace info

    A+

  • Le 20 novembre 2006 à 14:18, par taup2000 En réponse à : Matrice d’inertie des solides élémentaires

    Pour le cylindre, on a bien :

    int(x², m) = mR^4/4

    int(z², m) = mL²/3

    d’où vient le 1/4 qui apparait dans Ioy = m(R^4/4 + L^2/12) ??

    merci.

  • Le 20 novembre 2006 à 22:29, par papanicola robert En réponse à : Matrice d’inertie des solides élémentaires

    attention eux bormes d’intégration !

    on a
    \int\limits_{ - \frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} {\int\limits_0^R {\int\limits_0^{2\pi } {\rho  \cdot z^2  \cdot r \cdot d\theta }  \cdot dr}  \cdot dz}  = \frac{1}{{12}} \cdot \rho  \cdot \pi  \cdot R^2  \cdot l^3

    avec m = \rho  \cdot \pi  \cdot R^2  \cdot l

    finalement
    \frac{1}{{12}} \cdot m \cdot l^2

  • Le 22 novembre 2006 à 15:40, par taup2000 En réponse à : Matrice d’inertie des solides élémentaires

    Merci beaucoup

  • Le 26 novembre 2006 à 21:55, par PTE Nancy En réponse à : Matrice d’inertie des solides élémentaires

    Bonsoir, je suis tombé sur votre site qui est très bien fait et vraiment bien expliqué.

    Par contre je remarque qu’il n’y a pas la formule de la matrice d’inertie du cylindre creux, je pense que grâce à cette formule celle du cylindre, de la tige et du disque sont immédiats...

    Ce n’est que l’idée d’un modeste visiteur, libre à vous de l’utiliser bien sur :)

    Bonne continuation