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Matrice d’inertie des solides élémentaires

dimanche 5 décembre 2004

Cylindre
masse m
longueur l
rayon R
symétrie de révolution axe \left( {O,\vec z} \right)
D=E=F=0 et A=B

A = B = \int_{Cyl} {\left( {y^2  + z^2 } \right)dm}  = m\left( {\frac{{R^2 }}{4} + \frac{{l^2 }}{{12}}} \right)

C = \int_{Cyl} {\left( {x^2  + y^2 } \right)dm = m\frac{{R^2 }}{2}}

{\rm{\bar \bar J}}_G \left( {Cyl} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {m\left( {\frac{{R^2 }}{4} + \frac{{l^2 }}{{12}}} \right)} & 0 & 0  \\   0 & {m\left( {\frac{{R^2 }}{4} + \frac{{l^2 }}{{12}}} \right)} & 0  \\   0 & 0 & {m\frac{{R^2 }}{2}}  \\\end{array}} \right)_{\left( {\vec ?,\vec ?,\vec z} \right)} en G

Disque

masse m

rayon R

épaisseur e

symétrie de révolution axe \left( {O,\vec z} \right)

{\rm{\bar \bar J}}_G \left( {Dis} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {m\frac{{R^2 }}{4}} & 0 & 0  \\   0 & {m\frac{{R^2 }}{4}} & 0  \\   0 & 0 & {m\frac{{R^2 }}{2}}  \\\end{array}} \right)_{\left( {\vec ?,\vec ?,\vec z} \right)} en G

Tige rectiligne

masse m

Longueur L

rayon r<<L

symétrie de révolution axe \left( {O,\vec z} \right)

{\rm{\bar \bar J}}_G \left( {tige} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {m\frac{{L^2 }}{{12}}} & 0 & 0  \\   0 & {m\frac{{L^2 }}{{12}}} & 0  \\   0 & 0 & 0  \\\end{array}} \right)_{\left( {\vec&nbsp;?,\vec&nbsp;?,\vec z} \right)} en G

Sphère pleine

masse m

rayon R

Symétrie sphérique

{\rm{\bar \bar J}}_G \left( {Sph\`e re} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {2m\frac{{R^2 }}{5}} & 0 & 0  \\   0 & {2m\frac{{R^2 }}{5}} & 0  \\   0 & 0 & {2m\frac{{R^2 }}{5}}  \\\end{array}} \right)_{\left( {\vec&nbsp;?,\vec&nbsp;?,\vec&nbsp;?} \right)} en G

pour toute base.

Parallélépipède

masse m
{\rm{\bar \bar J}}_G \left( {para} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {\frac{{m\left( {b^2  + c^2 } \right)}}{{12}}} & 0 & 0  \\   0 & {\frac{{m\left( {a^2  + c^2 } \right)}}{{12}}} & 0  \\   0 & 0 & {\frac{{m\left( {a^2  + b^2 } \right)}}{{12}}}  \\\end{array}} \right)_{\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)} en G

pour le cube

A = B = C = \frac{{ma^2 }}{6}

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