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Cinétique masse et inertie

Effet de masse et d’inertie

dimanche 14 octobre 2012

La cinétique se construit à partir de la cinématique en introduisant la notion de masse.

La première partie de ce cours est donc une introduction aux effets de masse et d’inertie dans le cadre de la mécanique classique (non relativiste).
Effet de masse et d’inertie

masse

La masse caractérise la quantité de matière.
On définit la masse comme étant une grandeur complètement additive.
soient \Sigma _1 ,\Sigma _2 deux systèmes matériels disjoints
alors m\left( {\Sigma _1  \cup \Sigma _2 } \right) = m\left( {\Sigma _2 } \right) + m\left( {\Sigma _1 } \right) avec \Sigma _1  \cap \Sigma _2  = \emptyset .
la masse m_\Sigma  de l’ensemble \Sigma est définie par m_\Sigma   = \int_\Sigma  {\rho \left( P \right)dv} , avec
dm = \rho \left( P \right) \cdot dv , \rho \left( P \right) masse volumique au point P.
Remarque :
*si le système matériel \Sigma est assimilable à une surface on parle de masse surfacique au point P : dm = \sigma \left( P \right) \cdot ds , \sigma \left( P \right) masse surfacique.
*si le système matériel \Sigma est assimilable à une ligne, on parle de masse linéique au point P : dm = \lambda \left( P \right) \cdot ds, \lambda \left( P \right) masse linéique.
principe de conservation de la masse

On admet en mécanique classique que la masse est une grandeur indépendante du temps. \forall t\quad m\left( {\Sigma ,t_1 } \right) = m\left( {\Sigma ,t_2 } \right).
On en déduit \frac{d}{{dt}}\left[ {\int_{P \in \Sigma } {\overrightarrow {f\left( {P,t} \right)} dm} } \right]_{\rm{R}}  = \int_{P \in \Sigma } {\frac{d}{{dt}}} \left[ {\overrightarrow {f\left( {P,t} \right)} } \right]_{\rm{R}} dm, avec \overrightarrow {f\left( {P,t} \right)} un champ de vecteur défini, en tout point P de \Sigma et à chaque date t.
centre d’inertie

définition
On appelle centre d’inertie du système matériel \Sigma , le point G défini par \int_\Sigma  {\overrightarrow {GM} } dm = \vec 0, avec M \in \Sigma .
Soit O un point quelconque :
\begin{array}{l} \int_\Sigma  {\overrightarrow {GM} } dm = \vec 0 \\  \int_\Sigma  {\left( {\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OM} } \right)dm}  = \vec 0 \\  \int_\Sigma  {\overrightarrow {GO} dm}  + \int_\Sigma  {\overrightarrow {OM} dm}  = \vec 0 \\  \int_\Sigma  {\overrightarrow {OG} dm}  = \int_\Sigma  {\overrightarrow {OM} dm}  \\  \end{array}
\overrightarrow {OG} \int_\Sigma  {dm}  = \int_\Sigma  {\overrightarrow {OM} dm}
m_\Sigma  \overrightarrow {OG}  = \int_\Sigma  {\overrightarrow {OM} dm}
donc \overrightarrow {OG}  = \frac{1}{{m_\Sigma  }}\int_\Sigma  {\overrightarrow {OM} dm}
on en déduit
avec \left( {x_G ,y_G ,z_G } \right)cordonnées de \overrightarrow {OG} et \left( {x,y,z} \right) coordonnées de \overrightarrow {OM} .
x_G  = \frac{1}{{M_\Sigma  }}\int_\Sigma  {x \cdot dm}  ; y_G  = \frac{1}{{M_\Sigma  }}\int_\Sigma  {y \cdot dm}  ; z_G  = \frac{1}{{M_\Sigma  }}\int_\Sigma  {z \cdot dm}

Remarque :
- si le système matériel \Sigma est un solide indéformable, le centre d’inertie est un point fixe du solide.
si le système matériel possède un élément de symétrie matérielle - plan ou axe de symétrie - (du point de vue géométrique et de répartition des masses), le centre d’inertie appartient à l’élément de symétrie.
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Théorèmes de Guldin
Centre d’inertie d’une courbe plane

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centre d’inertie d’une courbe plane

L’aire de la surface engendrée par une courbe plane tournant autour d’un axe de son plan et ne la traversant pas est égal au produit de la longueur de la courbe par le périmètre décrit par son centre d’inertie.
La courbe (C), est contenue dans le plan \left( {O,\vec x,\vec z} \right) et ne traverse pas \left( {O,\vec z} \right).
On associe à la courbe (C) une masse linéique fictive :
\begin{array}{l} m_C \overrightarrow {OG}  = \int_C {\overrightarrow {OM} dm}  \\  m_C \overrightarrow {OG}  = \int_C {\overrightarrow {OM}  \cdot \lambda  \cdot dl}  \\  m_C  = \lambda  \cdot L \\  \end{array}
L \cdot \overrightarrow {OG}  = \int_C {\overrightarrow {OM}  \cdot dl}
en ramenant sur l’axe x,
L \cdot x_G  = \int_C {x \cdot dl}
de plus la surface engendrée par la rotation de la courbe (C) s’écrit :
S = \int\limits_S {x \cdot d\theta  \cdot } dl = \int_0^{2\pi } {d\theta  \cdot \int_C {x \cdot dl} }  = 2\pi \int_C {x \cdot dl}
on a donc :
S = 2\pi  \cdot x_G  \cdot L

Centre d’inertie d’une surface plane

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centre d’inertie d’une surface plane

Le volume engendré par une surface plane tournant autour d’un axe de son plan et ne la traversant pas est égal au produit de l’aire de la surface par la longueur du périmètre du cercle décrit par son centre d’inertie.
La surface (S) est contenu dans le plan \left( {O,\vec x,\vec z} \right) et ne traverse pas \left( {O,\vec z} \right).
On associe à (S) une masse surfacique .
\begin{array}{l} m_S \overrightarrow {OG}  = \int_S {\overrightarrow {OM} dm}  \\  m_S \overrightarrow {OG}  = \int_S {\overrightarrow {OM}  \cdot \sigma  \cdot dl}  \\  m_S  = \sigma  \cdot S \\  \end{array}
S \cdot \overrightarrow {OG}  = \int_S {\overrightarrow {OM}  \cdot ds}
de plus le volume engendré par la surface S s’écrit :
V = \int\limits_v {x \cdot d\theta  \cdot } ds = \int_0^{2\pi } {d\theta  \cdot \int_S {x \cdot ds} }  = 2\pi \int_S {x \cdot ds}
d’où :
V = 2\pi  \cdot x_G  \cdot S

Remarque :
L’utilisation des théorèmes de Guldin permet de simplifier le calcul de position du centre d’inertie dans la mesure où l’on connaît les caractéristiques du volume ou de la surface balayée.
Travaux dirigés
CF TD
Remarque :
Le centre d’inertie est confondu avec centre de gravité dans le cas d’un champ de pesanteur uniforme.

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