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Dynamique du solide

Principe Fondamental de la Dynamique (PFD).

mardi 18 janvier 2005

Il existe un repère spatial-temporel (un repère + une chronologie) dit repère galiléen {\rm{R}}_g \left( {O_g ,\vec x_g ,\vec y_g ,\vec z_g } \right), tel qu’a tout instant, le torseur des forces extérieures agissant sur le système matériel \Sigma est égal au torseur dynamique de \Sigma dans son mouvement par rapport au repère.
Ce principe se traduit par l’égalité :
\left\{ {{\rm{F}}_{\bar \Sigma  -  -  > \Sigma } } \right\} = \left\{ {{\rm{D}}_{\Sigma /{\rm{R}}_g } } \right\} PFD \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{R}}_{\bar \Sigma  -  -  > \Sigma } } }  \\   {\overrightarrow {{\rm{M}}_{A,\bar \Sigma  -  -  > \Sigma } } }  \\\end{array}} \right\}_A  = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{A}}_{\Sigma /{\rm{R}}_g } }  = m\overrightarrow {\Gamma _{G,\Sigma /{\rm{R}}_g } } }  \\   {\overrightarrow {\delta _{A,\Sigma /{\rm{R}}_g } } }  \\\end{array}} \right\}_A
Repères galiléens approchés

a) Repère de Copernic b) Repère lié au centre d’inertie de la terre c) Repère lié à la terre
Origine au centre d’inertie du système solaire + trois directions stellaire "fixes" Origine au centre d’inertie de la terre + les directions stellaires précédentes (repère en translation non rectiligne et non uniforme par rapport au précédent) Origine locale du repère de travail
utilisation : voyage interplanétaire limites : mouvement d’un objet au voisinage immédiat de la terre (satellite) mais aussi expérience terrestre de longue durée. utilisation : convient en général au phénomènes mécaniques classiques.

Principe fondamental dans un repère non galiléen

Soit E un ensemble matériel en mouvement par rapport à un repère R, en mouvement lui même par rapport à un repère galiléen {\rm{R}}_g
La composition des accélération (cours de cinématique) donne
\begin{array}{l} \overrightarrow {\Gamma _{M,E/{\rm{R}}_g } }  = \overrightarrow {\Gamma _{M,E/{\rm{R}}} }  + \overrightarrow {\Gamma _{M,{\rm{R}}/{\rm{R}}_g } }  + 2 \cdot \overrightarrow {\Omega _{{\rm{R}}/{\rm{R}}_g } }  \wedge \overrightarrow {V_{M,E/{\rm{R}}_g } }  \\  \overrightarrow {\Gamma _{abs} }  = \overrightarrow {\Gamma _{rel} }  + \overrightarrow {\Gamma _{entr} }  + \overrightarrow {\Gamma _{cor} }  \\  \end{array}
donc pour G
\overrightarrow {\Gamma _{G,E/{\rm{R}}_g } }  = \overrightarrow {\Gamma _{G,E/{\rm{R}}} }  + \overrightarrow {\Gamma _{G,{\rm{R}}/{\rm{R}}_g } }  + 2 \cdot \overrightarrow {\Omega _{{\rm{R}}/{\rm{R}}_g } }  \wedge \overrightarrow {V_{G,E/{\rm{R}}_g } }

d’où la résultante dynamique
\mathop {{\rm{A}}_{E/{\rm{R}}_g } }\limits^{ -  -  -  -  -  > }  = m \cdot \overrightarrow {\Gamma _{G,E/{\rm{R}}_g } }  = m \cdot \overrightarrow {\Gamma _{G,E/{\rm{R}}} }  + m \cdot \overrightarrow {\Gamma _{G,{\rm{R}}/{\rm{R}}_g } }  + 2 \cdot m \cdot \overrightarrow {\Omega _{{\rm{R}}/{\rm{R}}_g } }  \wedge \overrightarrow {V_{G,E/{\rm{R}}_g } }
\overrightarrow {{\rm{A}}_{E/{\rm{R}}_g } }  = \overrightarrow {{\rm{A}}_{rel} }  + \overrightarrow {{\rm{A}}_{entr} }  + \overrightarrow {{\rm{A}}_{cor} }
De même pour le moment dynamique :
\begin{array}{l} \overrightarrow {\delta _{\left( {A,E/{\rm{R}}} \right)} }  = \int_E {\overrightarrow {AM}  \wedge \overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}} \right)} } dm}  \\  \overrightarrow {\delta _{\left( {A,E/{\rm{R}}} \right)} }  = \int_E {\overrightarrow {AM}  \wedge \left( {m \cdot \overrightarrow {\Gamma _{G,E/{\rm{R}}} }  + m \cdot \overrightarrow {\Gamma _{G,{\rm{R}}/{\rm{R}}_g } }  + 2 \cdot m \cdot \overrightarrow {\Omega _{{\rm{R}}/{\rm{R}}_g } }  \wedge \overrightarrow {V_{G,E/{\rm{R}}_g } } } \right)dm}  \\  \end{array}\overrightarrow {\delta _{\left( {A,E/{\rm{R}}} \right)} }  = \overrightarrow {\delta _{\left( {A,rel} \right)} }  + \overrightarrow {\delta _{\left( {A,entr} \right)} }  + \overrightarrow {\delta _{\left( {A,cor} \right)} }
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit donc dans un repère non galiléen
\left\{ {{\rm{D}}_{\left( {E/{\rm{R}}} \right)} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{A}}_{\left( {E/{\rm{R}}} \right)} }  = \int_E {\overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}} \right)} } dm} }  \\   {\overrightarrow {\delta _{\left( {A,E/{\rm{R}}} \right)} }  = \int_E {\overrightarrow {AM}  \wedge \overrightarrow {\Gamma _{\left( {M/{\rm{R}}} \right)} } dm} }  \\\end{array}} \right\}_A , \left\{ {{\rm{D}}_{\left( {E/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right\} = {}_A\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{A}}_{E/{\rm{R}}_g } }  = \overrightarrow {{\rm{A}}_{rel} }  + \overrightarrow {{\rm{A}}_{entr} }  + \overrightarrow {{\rm{A}}_{cor} } }  \\   {\overrightarrow {\delta _{\left( {A,E/{\rm{R}}} \right)} }  = \overrightarrow {\delta _{\left( {A,rel} \right)} }  + \overrightarrow {\delta _{\left( {A,entr} \right)} }  + \overrightarrow {\delta _{\left( {A,cor} \right)} } }  \\\end{array}} \right\}
\left\{ {{\rm{D}}_{\left( {E/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right\} = \left\{ {{\rm{Dr}}_{\left( {E/{\rm{R}}} \right)} } \right\} + \left\{ {{\rm{De}}_{\left( {E,{\rm{R}}/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right\} + \left\{ {{\rm{Dc}}_{\left( {E,{\rm{R}}/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right\}
\left\{ {{\rm{F}}_{\bar \Sigma  -  -  > \Sigma } } \right\} = \left\{ {{\rm{D}}_{\left( {E/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right\} = \left\{ {{\rm{Dr}}_{\left( {E/{\rm{R}}} \right)} } \right\} + \left\{ {{\rm{De}}_{\left( {E,{\rm{R}}/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right\} + \left\{ {{\rm{Dc}}_{\left( {E,{\rm{R}}/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right\}
soit

\left\{ {{\rm{F}}_{\bar \Sigma  -  -  > \Sigma } } \right\} - \left\{ {{\rm{De}}_{\left( {E,{\rm{R}}/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right\} - \left\{ {{\rm{Dc}}_{\left( {E,{\rm{R}}/{\rm{R}}_{\rm{g}} } \right)} } \right\} = \left\{ {{\rm{Dr}}_{\left( {E/{\rm{R}}} \right)} } \right\}
Dans un repère non galiléen, il faut soustraire aux forces extérieures appliquées à l’ensemble matériel E le torseur des forces d’inertie d’entrainement et le torseur des forces d’inertie de Coriolis.
Théorème généraux

Le Principe Fondamental de la Dynamique est une égalité entre deux torseurs, pour que ces torseurs soient égaux, il faut que leurs résultantes soient égales et que leurs moments en un point soient égaux
Ces deux équations vectorielles sont les deux théorèmes généraux.
Théorème de la résultante dynamique

Pour tout ensemble matériel \Sigma en mouvement par rapport au repère galiléen {\rm{R}}_g , la résultante dynamique est égale à la résultante générale du torseur associé aux actions extérieures à *. \overrightarrow {{\rm{R}}_{\bar \Sigma  -  -  > \Sigma } }  = m \cdot \overrightarrow {\Gamma _{G,\Sigma /{\rm{R}}_g } }
Remarque : Théorème des quantités de mouvement

Ce théorème est un autre écriture du théorème précédent
On sait que \overrightarrow {\Gamma _{\left( {G \in S/{\rm{R}}} \right)} }  = \left[ {\frac{d}{{dt}}\overrightarrow {V_{\left( {G \in S/{\rm{R}}} \right)} } } \right]_{\rm{R}} alors \overrightarrow {{\rm{R}}_{\bar \Sigma  \to \Sigma } }  = m\left[ {\frac{d}{{dt}}\overrightarrow {V_{\left( {G \in S/{\rm{R}}} \right)} } } \right]_{\rm{R}}
Théorème du moment dynamique

Pour tout ensemble matériel * en mouvement par rapport au repère galiléen {\rm{R}}_g , le moment dynamique est égal au moment résultant du torseur associé aux actions extérieures à \Sigma . \overrightarrow {{\rm{M}}_{A,\bar \Sigma  \to \Sigma } }  = \overrightarrow {\delta _{A,\Sigma /{\rm{R}}_g } }

Remarque : Théorème du moment cinétique

Dans le cas particulier ou le point A est fixe dans {\rm{R}}_g , ou si A est confondu avec le centre d’inertie G, on peut donner une autre écriture au théorème du moment dynamique
On sait que \overrightarrow {\delta _{\left( {G,E/{\rm{R}}} \right)} }  = \frac{d}{{dt}}\left[ {\overrightarrow {\sigma _{\left( {G,E/{\rm{R}}} \right)} } } \right]_{\rm{R}} alors \overrightarrow {{\rm{M}}_{G,\bar \Sigma  \to \Sigma } }  = \frac{d}{{dt}}\left[ {\overrightarrow {\sigma _{\left( {G,E/{\rm{R}}} \right)} } } \right]_{\rm{R}}
Utilisation du PFD

Le principe fondamental de la dynamique se traduit par une égalité de torseur, c’est à dire par deux égalités vectorielles (théorème généraux) entre les efforts appliqués au système étudié et les quantités d’accélération de ce système par rapport à un repère galiléen.
Un problème de dynamique du solide comporte donc au maximum 6 équations scalaires (2x3),. Pour pouvoir "tenter" de résoudre ce problème, il ne doit pas comporter plus d’inconnues que d’équations.
les équations scalaires comporte :

- des paramètres de positions,

- les dérivées premières et secondes de ces paramètres,

- les actions mécaniques (connues et inconnues),

- les données du problème.

Les inconnues sont soit des actions mécaniques, soit des paramètres de position.

Equations de mouvement
Une équation de mouvement est une équation différentielle du second ordre déduite des théorèmes généraux (après manipulation des équations) ne comportant pas d’action mécanique inconnue.

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