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Opérateur d’inertie

samedi 13 octobre 2012, par papanicola robert

L’opérateur d’inertie permet de synthétiser l’ensemble des caractéristiques d’inertie du solide, Cet opérateur est une fonction linéaire et peut être représenté par une matrice.

définition

On appelle opérateur d’inertie ${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right)$ au point O d’un solide S l’opérateur qui à tout vecteur $\vec u$ de l’espace associe le vecteur
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OP} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right)} \right)} dm$
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = - \int_S {\left( {\overrightarrow {OP} \wedge \left( {\overrightarrow {OP} \wedge \vec u} \right)} \right)} dm$

Matrice d’inertie

Soit un repère R $\left( {O,\vec x,\vec y,\vec z} \right)$ , un point P de coordonnées x, y, z dans R, B la base $\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)$
$\overrightarrow {OP} = x \cdot \vec x + y \cdot \vec y + z \cdot \vec z$
$\vec u = \alpha \cdot \vec x + \beta \cdot \vec y + \gamma \cdot \vec z$
déterminons le double produit vectoriel.
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OP} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right)} \right)} dm$
$\begin{array}{c} \overrightarrow {OP} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right) = \left( {\alpha \cdot \left( {y^2 + z^2 } \right) - \beta \cdot x \cdot y - \gamma \cdot x \cdot z} \right) \cdot \vec x \\ + \left( { - \alpha \cdot x \cdot y + \beta \left( {x^2 + z^2 } \right) - \gamma \cdot y \cdot z} \right) \cdot \vec y \\ + \left( { - \alpha \cdot x \cdot z - \beta \cdot y \cdot z + \gamma \left( {x^2 + y^2 } \right)} \right) \cdot \vec z \\ \end{array}$
en effectuant l’intégration on obtient :
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OP} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right)} \right)} dm$

$\begin{array}{c} {\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \left( {\alpha \cdot \int_S {\left( {y^2 + z^2 } \right)dm} - \beta \int_S { \cdot x \cdot ydm} - \gamma \int_S {x \cdot zdm} } \right) \cdot \vec x \\ \left( { - \alpha \cdot \int_S {x \cdot y} dm + \beta \int_S {\left( {x^2 + z^2 } \right)dm} - \gamma \int_S {y \cdot zdm} } \right) \cdot \vec y \\ \left( { - \alpha \cdot \int_S {x \cdot zdm} - \beta \int_S {y \cdot zdm} + \gamma \int_S {\left( {x^2 + y^2 } \right)dm} } \right) \cdot \vec z \\ \end{array}$
On a bien le produit d’une matrice par un vecteur $\vec u = \alpha \cdot \vec x + \beta \cdot \vec y + \gamma \cdot \vec z$
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OP} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OP} } \right)} \right)} dm = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\int_S {\left( {y^2 + z^2 } \right)dm} } & { - \int_S { \cdot x \cdot ydm} } & { - \int_S {x \cdot zdm} } \\ { - \int_S {x \cdot y} dm} & {\int_S {\left( {x^2 + z^2 } \right)dm} } & { - \int_S {y \cdot zdm} } \\ { - \int_S {x \cdot zdm} } & { - \int_S {y \cdot zdm} } & {\int_S {\left( {x^2 + y^2 } \right)dm} } \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)} \left( {\begin{array}{*{20}c} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\\end{array}} \right)$
On pose par convention
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & { - F} & { - E} \\ { - F} & B & { - D} \\ { - E} & { - D} & C \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}$ ou bien ${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {I_{Ox} } & { - P_{xy} } & { - P_{xz} } \\ { - P_{xy} } & {I_{Oy} } & { - P_{yz} } \\ { - P_{xz} } & { - P_{yz} } & {I_{Oz} } \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}$
A= $I_{O\vec x} \left( S \right) = \int_S {\left( {y^2 + z^2 } \right)dm}$ : moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe ( $O\vec x$ ).
B= $I_{O\vec y} \left( S \right) = \int_S {\left( {x^2 + z^2 } \right)dm}$ : moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe ( $O\vec y$ ).
C= $I_{O\vec z} \left( S \right) = \int_S {\left( {x^2 + y^2 } \right)dm}$ :moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe ( $O\vec z$ ).
D= produit d’inertie du solide S par rapport aux axes ( $O\vec y$ ) et ( $O\vec z$ ).
E= produit d’inertie du solide S par rapport aux axes ( $O\vec x$ ) et ( $O\vec z$ ).
F= produit d’inertie du solide S par rapport aux axes ( $O\vec x$ ) et ( $O\vec y$ ).

Expression du moment d’inertie par rapport à un axe quelconque

Par définition le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe * $\left( {O,\vec \delta } \right)$ passant par O est :
$I_\Delta \left( S \right) = \int_S {\left( {\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} } \right)^2 dm}$
$I_\Delta \left( S \right) = \int_S {\left( {\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} } \right) \cdot \left( {\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} } \right)dm}$
le terme sous l’intégrale peut être considéré comme le produit mixte des vecteurs $\vec \delta$ , $\overrightarrow {OM}$ et $\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM}$ :
$I_\Delta \left( S \right) = \int_S {\left( {\vec \delta ,\overrightarrow {OM} ,\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} } \right)dm}$
en permutant les termes du produit mixte on obtient : $I_\Delta \left( S \right) = \int_S {\left( {\overrightarrow {OM} ,\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} ,\vec \delta } \right)dm}$ , c’est à dire’
$I_\Delta \left( S \right) = \int_S {\left( {\overrightarrow {OM} \wedge \left( {\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} } \right) \cdot \vec \delta } \right)dm}$ puis
$I_\Delta \left( S \right) = \vec \delta \cdot \int_S {\left( {\overrightarrow {OM} \wedge \left( {\vec \delta \wedge \overrightarrow {OM} } \right)} \right)dm}$
on reconnaît l’opérateur d’inertie au point O du solide S.
On obtient donc le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe * $\left( {O,\vec \delta } \right)$ en effectuant le produit scalaire de $\vec \delta$ et de la transformation de $\vec \delta$ par l’opérateur d’inertie du solide en O
$I_\Delta \left( S \right) = \vec \delta \cdot {\rm{\bar \bar J}}_O (S) \cdot \vec \delta$
Propriétés et directions principales de la matrice d’inertie.
La matrice d’inertie permet de synthétiser les caractéristiques d’inerties d’un solide S, on retrouve dans cette matrice les particularités géométriques du solide, c’est à dire les symétries (symétrie/plan, /2 plans, de révolution).

Solide avec un plan de symétrie

Lorsque le solide possède un plan de symétrie, les produits d’inertie comportant la normale au plan de symétrie sont nuls.
Démonstration : le solide S possède un plan de symétrie, ici $(O,\vec x,\vec y)$ , l’axe $\vec z$ est normal à ce plan

D= $\int_S {yzdm}$ produit d’inertie du solide S par rapport aux axes ( $O\vec y$ ) et ( $O\vec z$ ).
E= $\int_S {xzdm}$ produit d’inertie du solide S par rapport aux axes ( $O\vec x$ ) et ( $O\vec z$ ).
$D = \int_S {yzdm} = \int_{S1} {yzdm} + \int_{S2} {yzdm}$
le solide ayant le plan $(O,\vec x,\vec y)$ comme plan de symétrie, on a :
$\int_{S2} {yzdm} = \int_{S1} {y\left( { - z} \right)dm} = - \int_{S1} {yzdm}$
D=0, de même E=0
d’où la matrice d’inertie du solide S :
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & { - F} & 0 \\ { - F} & B & 0 \\ 0 & 0 & C \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}$
Solide avec 2 plans de symétrie.
si deux plans parmi les trois $(O,\vec x,\vec y)$ , $(O,\vec x,\vec z)$ , $(O,\vec y,\vec z)$ sont des plans de symétrie matérielle, alors les trois produits d’inerties sont nuls
La matrice d’inertie est donc diagonale :
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & 0 & 0 \\ 0 & B & 0 \\ 0 & 0 & C \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}$

Symétrie de révolution
Si l’axe $(O,\vec z)$ est un axe de révolution matérielle, alors les moments d’inertie suivant $(O,\vec x)$ et $(O,\vec y)$ sont égaux.
La matrice d’inertie est donc : ${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & 0 & 0 \\ 0 & A & 0 \\ 0 & 0 & C \\\end{array}} \right)_{{\rm{B}}\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}$
Nota
La matrice d’inertie d’un solide possédant des symétries comporte des produits d’inerties nuls si cette matrice est écrite dans une base caractéristique de cette symétrie
Axes principaux d’inertie, base principale d’inertie.
La matrice d’inertie étant une matrice réelle et symétrique, il existe pour tout point A une base orthogonale de vecteurs propres B’ $\left( {\vec x’,\vec y’,\vec z’} \right)$ , dans cette base la matrice d’inertie du solide S au point A est une matrice diagonale. ${\rm{\bar \bar J}}_A \left( S \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {A’} & 0 & 0 \\ 0 & {B’} & 0 \\ 0 & 0 & {C’} \\\end{array}} \right)_{{\rm{B’}}\left( {\vec x’,\vec y’,\vec z’} \right)}$ .
Cette base est appelée base principale d’inertie au point A.
Les axes $(A,\vec x’)$ , $(A,\vec y’)$ et $(A,\vec z’)$ principaux d’inertie.
A’,B’ et C’ sont les moments principaux d’inertie.
Si au lieu de prendre un point A quelconque, on prend le centre d’inertie G, la base B’, est la base centrale d’inertie et les moments A’, B’ et C’ sont les moments centraux d’inertie.

Remarque :
Les axes caractéristiques d’un solide (symétries) sont des axes principaux d’inertie.

Changement de point, théorème de Huygens généralisé

Soit B la base $\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)$
On recherche la relation entre la matrice d’inertie en O du solide S et la matrice d’inertie en G (centre d’inertie du solide S).
Par définition l’opérateur d’inertie (matrice d’inertie) du solide au point O dans la base B :
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OM} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OM} } \right)} \right)} dm$
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\left( {\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GM} } \right) \wedge \left( {\vec u \wedge \left( {\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} \right)} dm$

$\begin{array}{c} {\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OG} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm + \int_S {\left( {\left( {\overrightarrow {OG} } \right) \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm \\ + \int_S {\left( {\overrightarrow {GM} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm + \int_S {\left( {\overrightarrow {GM} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm \\ \end{array}$
or les deuxième et troisième termes sont nuls
$\begin{array}{c} \int_S {\left( {\left( {\overrightarrow {OG} } \right) \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm = \overrightarrow {OG} \wedge \left( {\vec u \wedge \int_S {\overrightarrow {GM} dm} } \right) = \vec 0 \\ \int_S {\left( {\overrightarrow {GM} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm = \left( {\int_S {\overrightarrow {GM} dm} } \right) \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right) = \vec 0 \\ \end{array}$
donc : ${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = \int_S {\left( {\overrightarrow {OG} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm + \int_S {\left( {\overrightarrow {GM} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm$
or par définition de l’opérateur d’inertie du solide S en G : $\int_S {\left( {\overrightarrow {GM} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {GM} } \right)} \right)} dm = {\rm{\bar \bar J}}_G \left( S \right) \cdot \vec u$
la deuxième intégrale donne m : $\int_S {\left( {\overrightarrow {OG} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)} \right)} dm = m\overrightarrow {OG} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)$
d’ou le théorème de Huygens généralisé
${\rm{\bar \bar J}}_O \left( S \right) \cdot \vec u = {\rm{\bar \bar J}}_G \left( S \right) \cdot \vec u + m\overrightarrow {OG} \wedge \left( {\vec u \wedge \overrightarrow {OG} } \right)$
En posant $\overrightarrow {OG} = a \cdot \vec x + b \cdot \vec y + c \cdot \vec z$
Les matrices d’inertie en G et O s’écrivent :
$\left( {\begin{array}{*{20}c} {A_O } & { - F_O } & { - E_O } \\ { - F_O } & {B_O } & { - D_O } \\ { - E_O } & { - D_O } & {C_O } \\\end{array}} \right)_{\rm{B}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {A_G } & { - F_G } & { - E_G } \\ { - F_G } & {B_G } & { - D_G } \\ { - E_G } & { - D_G } & {C_G } \\\end{array}} \right)_{\rm{B}} + \left( {\begin{array}{*{20}c} {m\left( {b^2 + c^2 } \right)} & { - mab} & { - mac} \\ { - mab} & {m\left( {a^2 + c^2 } \right)} & { - mbc} \\ { - mac} & { - mbc} & {m\left( {a^2 + b^2 } \right)} \\\end{array}} \right)_{\rm{B}}$
donc : $\begin{array}{l} A_O = A_G + m\left( {b^2 + c^2 } \right) \\ B_O = B_G + m\left( {a^2 + c^2 } \right) \\ C_O = C_G + m\left( {a^2 + b^2 } \right) \\ \end{array}$ $\begin{array}{l} D_O = D_G + mbc \\ E_O = E_G + mac \\ F_O = F_G + mab \\ \end{array}$

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Vos commentaires

# Le 16 mars 2005 à 10:18 En réponse à : > Opérateur d’inertie

Euh, ya une menu à la con sur la gauche qui masque le début de chaque page, et pas moyen de le virer !!!

Monsieur l’adminsitrateur, il serait peut-être bien d’y remédier, non ?

Enfin, je dis ça, c’est pour vous ... pour faire avacncer le schimili .. le chelimili ... le schmilibli .. bref, le schmilblick ,quoi !
# Le 16 mars 2005 à 10:58, par papanicola robert En réponse à : > > Opérateur d’inertie

je pourrais, j’y songe mais le véritable problème, c’est que tu utiiises Internet Explorer (version 6) c’est à dire un navigateur internet qui a plus de 4 ans, je te propose plutot de télécharger firefox bien plus respectueux des standarts du web

sinon, tu as toujours la possibilité de cliquer sur imprimer la page (en haut à droite) pour avoir un aperçu sans les menus

A+
# Le 16 mars 2005 à 11:04 En réponse à : > > > Opérateur d’inertie

Ach, je comprends bien. Cela dit, j’utilise l’ordinateur à ma disposition, sur lequel je n’ai pas les droits administrateurs ...

Tant pis pour moi, et merci
# Le 26 février 2006 à 00:05, par ElèveDePrepaPT_àMontpellier En réponse à : Opérateur d’inertie

Bonjour , félicitation pour vos explications claires et concises, ainsi que chaque étape des raisonnements justifiés, cela permet de s’approprier ces notions rapidement, merci
# Le 26 février 2006 à 00:40, par papanicola robert En réponse à : Opérateur d’inertie

merci
# Le 18 novembre 2007 à 23:56, par laye En réponse à : Opérateur d’inertie

merci bcp cété vraiment interressant
# Le 21 avril 2012 à 22:03, par carlosmoya En réponse à : Opérateur d’inertie

Merci pour cette démonstration. Cependant, j’arrive pas à bien voir pourquoi " les deuxième et troisième termes sont nuls ". Si quelqu’un peut y répondre, les explications seront les bienvenues.
Merci.
# Le 21 avril 2012 à 23:04, par papanicola robert En réponse à : Opérateur d’inertie

tu parles de quel cas ?
# Le 22 avril 2012 à 09:02, par carlosmoya En réponse à : Opérateur d’inertie

Dans la partie Changement de point, théorème de Huygens généralisé.
# Le 22 avril 2012 à 13:34, par papanicola robert En réponse à : Opérateur d’inertie

par définition du centre d’inertie
$\int\overrightarrow{GM}dm=\overrightarrow{0}$
# Le 22 avril 2012 à 15:48, par carlosmoya En réponse à : Opérateur d’inertie

Bien vu !!! je te remercie pour tes réponses. Au passage, le vecteur u pour moi représente le vecteur de rotation instantané du solide étudié en mouvement.

Opérateur d’inertie

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