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Matrice d’inertie des solides élémentaires

dimanche 5 décembre 2004, par papanicola robert

Cylindre	masse m longueur l rayon R	symétrie de révolution axe $\left( {O,\vec z} \right)$ D=E=F=0 et A=B $A = B = \int_{Cyl} {\left( {y^2 + z^2 } \right)dm} = m\left( {\frac{{R^2 }}{4} + \frac{{l^2 }}{{12}}} \right)$ $C = \int_{Cyl} {\left( {x^2 + y^2 } \right)dm = m\frac{{R^2 }}{2}}$ ${\rm{\bar \bar J}}_G \left( {Cyl} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {m\left( {\frac{{R^2 }}{4} + \frac{{l^2 }}{{12}}} \right)} & 0 & 0 \ 0 & {m\left( {\frac{{R^2 }}{4} + \frac{{l^2 }}{{12}}} \right)} & 0 \ 0 & 0 & {m\frac{{R^2 }}{2}} \\end{array}} \right)_{\left( {\vec ?,\vec ?,\vec z} \right)}$ en G
Disque	masse m rayon R épaisseur e	symétrie de révolution axe $\left( {O,\vec z} \right)$ ${\rm{\bar \bar J}}_G \left( {Dis} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {m\frac{{R^2 }}{4}} & 0 & 0 \ 0 & {m\frac{{R^2 }}{4}} & 0 \ 0 & 0 & {m\frac{{R^2 }}{2}} \\end{array}} \right)_{\left( {\vec ?,\vec ?,\vec z} \right)}$ en G
Tige rectiligne	masse m Longueur L rayon r<<L	symétrie de révolution axe $\left( {O,\vec z} \right)$ ${\rm{\bar \bar J}}_G \left( {tige} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {m\frac{{L^2 }}{{12}}} & 0 & 0 \ 0 & {m\frac{{L^2 }}{{12}}} & 0 \ 0 & 0 & 0 \\end{array}} \right)_{\left( {\vec ?,\vec ?,\vec z} \right)}$ en G
Sphère pleine	masse m rayon R	Symétrie sphérique ${\rm{\bar \bar J}}_G \left( {Sph`e re} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {2m\frac{{R^2 }}{5}} & 0 & 0 \ 0 & {2m\frac{{R^2 }}{5}} & 0 \ 0 & 0 & {2m\frac{{R^2 }}{5}} \\end{array}} \right)_{\left( {\vec ?,\vec ?,\vec ?} \right)}$ en G pour toute base.
Parallélépipède	masse m	${\rm{\bar \bar J}}_G \left( {para} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{m\left( {b^2 + c^2 } \right)}}{{12}}} & 0 & 0 \ 0 & {\frac{{m\left( {a^2 + c^2 } \right)}}{{12}}} & 0 \ 0 & 0 & {\frac{{m\left( {a^2 + b^2 } \right)}}{{12}}} \\end{array}} \right)_{\left( {\vec x,\vec y,\vec z} \right)}$ en G pour le cube $A = B = C = \frac{{ma^2 }}{6}$

Vos commentaires

# Le 1er janvier 2006 à 20:57, par dam3364 En réponse à : 1 requête

Pourrais t on avoir les cours de dynamique au format pdf , s’il vous plait
par exemple :
# Le 1er janvier 2006 à 21:00, par papanicola robert En réponse à : 1 requête

non

un petit copier/coller dans word ou open office permet d’avoir une trace info

A+
# Le 20 novembre 2006 à 14:18, par taup2000 En réponse à : Matrice d’inertie des solides élémentaires

Pour le cylindre, on a bien :

int(x², m) = mR^4/4

int(z², m) = mL²/3

d’où vient le 1/4 qui apparait dans Ioy = m(R^4/4 + L^2/12) ??

merci.
# Le 20 novembre 2006 à 22:29, par papanicola robert En réponse à : Matrice d’inertie des solides élémentaires

attention eux bormes d’intégration !

on a
$\int\limits_{ - \frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} {\int\limits_0^R {\int\limits_0^{2\pi } {\rho \cdot z^2 \cdot r \cdot d\theta } \cdot dr} \cdot dz} = \frac{1}{{12}} \cdot \rho \cdot \pi \cdot R^2 \cdot l^3$

avec $m = \rho \cdot \pi \cdot R^2 \cdot l$

finalement
$\frac{1}{{12}} \cdot m \cdot l^2$
# Le 22 novembre 2006 à 15:40, par taup2000 En réponse à : Matrice d’inertie des solides élémentaires

Merci beaucoup
# Le 26 novembre 2006 à 21:55, par PTE Nancy En réponse à : Matrice d’inertie des solides élémentaires

Bonsoir, je suis tombé sur votre site qui est très bien fait et vraiment bien expliqué.

Par contre je remarque qu’il n’y a pas la formule de la matrice d’inertie du cylindre creux, je pense que grâce à cette formule celle du cylindre, de la tige et du disque sont immédiats...

Ce n’est que l’idée d’un modeste visiteur, libre à vous de l’utiliser bien sur :)

Bonne continuation