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Torseurs des efforts transmissibles par les liaisons

dimanche 23 janvier 2005

Tableau des liaisons

Le tableau suivant précise la forme du torseur action mécanique entre 2 solides en fonction de la liaison cinématique. Ce torseur est appelé torseur Statique ou torseur inter effort.

Le tableau est établi pour des liaisons idéales sans frottement. Un 0 dans les coordonnées du torseur statique correspond à un degré de liberté pour le torseur cinématique


Pivot d’axe \left( {O,\overrightarrow x } \right)

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Liaison pivot

5 inconnues de liaisons

\left\{ {TAM_{2 \to 1} } \right\} = {}_{\forall P \in \left( {O,\overrightarrow x } \right)}\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\begin{array}{*{20}c}   {X_{21} }  \\   {Y_{21} }  \\   {Z_{21} }  \\\end{array}} & {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   {M_{21} }  \\   {N_{21} }  \\\end{array}}  \\\end{array}} \right\}_{\left( {\overrightarrow x ,..,..} \right)}
Le torseur a la même forme en tout point P de l’axe \left( {O,\overrightarrow x } \right) et dans toute base contenant l’axe principal \overrightarrow x .


Glissière de direction \overrightarrow x

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Liaison glissière

5 inconnues de liaisons

\left\{ {TAM_{2 \to 1} } \right\} =  = {}_{\forall P}\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   {Y_{21} }  \\   {Z_{21}  \\\end{array}} & {\begin{array}{*{20}c}   {L_{21} }  \\   {M_{21} }  \\   {N_{21} }  \\\end{array}}  \\\end{array}} \right\}_{\left( {\overrightarrow x ,..,..} \right)}
Le torseur a la même forme en tout point P de l’espace et dans toute base contenant la direction principale \overrightarrow x .


Hélicoïdale d’axe \left( {O,\overrightarrow x } \right)

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X_{21} et L_{21} sont liés donc :
5 inconnues de liaisons

\left\{ {TAM_{2 \to 1 } \right\} = {}_{\forall P \in \left( {O,\overrightarrow x } \right)}\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\begin{array}{*{20}c}   {X_{21} }  \\   {Y_{21} }  \\   {Z_{21} }  \\\end{array}} & {\begin{array}{*{20}c}   {L_{21} }  \\   {M_{21} }  \\   {N_{21} }  \\\end{array}}  \\\end{array}} \right\}_{\left( {\overrightarrow x ,..,..} \right)}
avec \left| {L_{21} } \right| = p \cdot \left| {X_{21} } \right| et p pas de l’hélice.
Le torseur a la même forme en tout point P de l’axe \left( {O,\overrightarrow x } \right) et dans toute base contenant l’axe principal \overrightarrow x .


Pivot glissant d’axe \left( {O,\overrightarrow x } \right)

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Liaison pivot glissant

4 inconnues de liaisons


\left\{ {TAM_{2 \to 1} } \right\} = {}_{\forall P \in \left( {O,\overrightarrow x } \right)}\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   {Y_{21} }  \\   {Z_{21} }  \\\end{array}} & {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   {M_{21} }  \\   {N_{21} }  \\\end{array}}  \\\end{array}} \right\}_{\left( {\overrightarrow x ,..,..} \right)}
Le torseur a la même forme en tout point P de l’axe \left( {O,\overrightarrow x } \right) et dans toute base contenant l’axe principal \overrightarrow x .


Sphérique de centre C

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Liaison sphérique

3 inconnues de liaisons

\left\{ {TAM_{2 \to 1} } \right\} = {}_C\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\begin{array}{*{20}c}   {X_{21} }  \\   {Y_{21} }  \\   {Z_{21} }  \\\end{array}} & {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   0  \\   0  \\\end{array}}  \\\end{array}} \right\}_{\left( {...,..,..} \right)}

Le torseur à la même forme dans tout repère de centre C, centre de la sphère


Appui plan de normale \overrightarrow y

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Liaison Appui plan

3 inconnues de liaisons


\left\{ {TAM_{2 \to 1} } \right\} = {}_{\forall P}\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   {Y_{21} }  \\   0  \\\end{array}} & {\begin{array}{*{20}c}   {L_{21} }  \\   0  \\   {N_{21} }  \\\end{array}}  \\\end{array}} \right\}_{\left( {..,\overrightarrow y ,..} \right)}
Le torseur a la même forme en tout point P de l’espace et dans toute base contenant la normale au plan , ici \overrightarrow y


Sphérique à doigt de centre C

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Liaison sphérique à doigt

4 inconnues de liaisons

\left\{ {TAM_{2 \to 1} } \right\} = {}_C\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\begin{array}{*{20}c}   {X_{21} }  \\   {Y_{21} }  \\   {Z_{21} }  \\\end{array}} & {\begin{array}{*{20}c}   {L_{21} }  \\   0  \\   0  \\\end{array}}  \\\end{array}} \right\}_{\left( {...,..,..} \right)}

Le torseur doit être écrit en C, centre de la sphère, dans une base dont l’un des vecteurs est porté par le doigt, ici \overrightarrow z .


Sphère Cylindre d’axe \left( {C,\overrightarrow x } \right)

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Liaison sphére-cylindre

2 inconnues de liaisons

\left\{ {TAM_{2 \to 1} } \right\} = {}_C\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   {Y_{21} }  \\   {Z_{21} }  \\\end{array}} & {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   0  \\   0  \\\end{array}}  \\\end{array}} \right\}_{\left( {\overrightarrow x ,..,..} \right)}
Le doit torseur doit être écrit en C centre de la sphère, avec un des vecteurs de base - ici \overrightarrow x - le long de l’axe du mouvement de translation


Linéaire rectiligne d’axe \left( {O,\overrightarrow x } \right) et de normale \overrightarrow y

PNG - 1.8 ko

2 inconnues de liaisons

\left\{ {TAM_{2 \to 1} } \right\} = {}_{\forall P \in \left( {O,\overrightarrow x } \right)}\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   {Y_{21} }  \\   0  \\\end{array}} & {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   0  \\   {N_{21} }  \\\end{array}}  \\\end{array}} \right\}_{\left( {\overrightarrow x ,\overrightarrow y ,z} \right)}
Le repère idéal est défini par un point P sur l’axe de contact -ici \left( {O,\overrightarrow x } \right) et la normale à la surface de contact , ici \overrightarrow y


Sphère-Plan de normale \left( {I,\overrightarrow y } \right)

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Liaison sphére-plan

1 inconnue de liaison

\left\{ {TAM_{2 \to 1} } \right\} = 0{}_I\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   {Y_{21} }  \\   0  \\\end{array}} & {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   0  \\   0  \\\end{array}}  \\\end{array}} \right\}_{\left( {..,\overrightarrow y ,..} \right)}
Le torseur s’écrit en I point de contact, dans toute base contenant la normale au plan de contact
Liaison encastrement

6 inconnues de liaison
\left\{ {TAM_{2 \to 1} } \right\} = {}_P\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\begin{array}{*{20}c}   {X_{21} }  \\   {Y_{21} }  \\   {Z_{21} }  \\\end{array}} & {\begin{array}{*{20}c}   {L_{21} }  \\   {M_{21} }  \\   {N_{21} }  \\\end{array}}  \\\end{array}} \right\}_{\left( {\overrightarrow x ,\overrightarrow y ,\overrightarrow z } \right)}


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