QCM dynamique

Données

Un solide S de masse m (repère lié $R1 = (G, \overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{y_1},\overrightarrow{z_1})$ ), assimilable à une sphère homogène de centre G et de rayon r, est en mouvement de rotation par rapport à un bâti . Ce bâti est fixe dans l’espace galiléen auquel est attaché un repère $R0 = (O, \overrightarrow{x_0}, \overrightarrow{y_0},\overrightarrow{z_0})$ . La liaison pivot d’axe $(O,\overrightarrow{z_0})$ entre S et est supposée parfaite. On note . $\theta= (\overrightarrow{x_0}, \overrightarrow{x_1}) = (\overrightarrow{y_0}, \overrightarrow{y_1})$ , $\overrightarrow{OG} = R \overrightarrow{x_1}$ et $\overrightarrow{g} = -g\overrightarrow{z_0}$ l’accélération de la pesanteur.

Enfin, on suppose qu’un moteur M exerce uniquement
sur S un couple $\overrightarrow{C(M \rightarrow S)} = C \overrightarrow{z_0}$ . La géométrie du problème est représentée sur la figure suivante.

Confirmez ou infirmez chacune des propositions suivantes

(A) L’opérateur d’inertie du solide S exprimé en G dans la base $(\overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{y_1},\overrightarrow{z_1})$ est de la
forme :

$[I(G,s)]=\left( \begin{array}{*{3}c} A & 0 & 0 \\ 0 & A & 0 \\ 0 & 0 & A \end{array} \right)_{(\overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{y_1},\overrightarrow{z_1})}$

(B) Le moment d’inertie du solide S exprimé en G autour de $(\overrightarrow{x_1}$ est :

$M \frac{R^2} {4}$

(C) Si le moment d’inertie du solide S exprimé en G autour de $(\overrightarrow{x_1}$ est noté A, l’opérateur
d’inertie du solide S exprimé en O dans la base $(\overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{y_1},\overrightarrow{z_1})$ est :

$[I(O,s)]=\left( \begin{array}{*{3}c} A’ & 0 & 0 \\ 0 & A’ & 0 \\ 0 & 0 & A’ \end{array} \right)_{(\overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{y_1},\overrightarrow{z_1})}$

avec $A’= A + M \cdot R^2$

(D) La résultante des actions mécaniques exercées par le bâti sur le solide S est :

$\overrightarrow{R(S0 \rightarrow S)} = m \left(-R \cdot \dot{\theta}^2 \cdot \overrightarrow{x_1} + R\cdot \ddot{\theta} \cdot \overrightarrow{y_1} + g \cdot \overrightarrow{z_1}\right)$

(E) Si le moment d’inertie du solide S exprimé en O autour de z0 est noté A’, l’équation du mouvement du solide S par rapport au référentiel galiléen :

$A’ \cdot \ddot{\theta}= C$