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QCM dynamique

vendredi 17 novembre 2006

Données

Sphère en rotation

Un solide S de masse m (repère lié R1 = (G, \overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{y_1},\overrightarrow{z_1})), assimilable à une sphère homogène de centre G et de rayon r, est en mouvement de rotation par rapport à un bâti S_0 . Ce bâti est fixe dans l’espace galiléen auquel est attaché un repère R0 = (O, \overrightarrow{x_0}, \overrightarrow{y_0},\overrightarrow{z_0}) . La liaison pivot d’axe (O,\overrightarrow{z_0}) entre S et S_0 est supposée parfaite. On note .\theta= (\overrightarrow{x_0}, \overrightarrow{x_1}) = (\overrightarrow{y_0}, \overrightarrow{y_1}), \overrightarrow{OG} = R \overrightarrow{x_1} et 
\overrightarrow{g} = -g\overrightarrow{z_0} l’accélération de la pesanteur.

Enfin, on suppose qu’un moteur M exerce uniquement
sur S un couple \overrightarrow{C(M \rightarrow S)} = C \overrightarrow{z_0} . La géométrie du problème est représentée sur la figure suivante.

Confirmez ou infirmez chacune des propositions suivantes

(A) L’opérateur d’inertie du solide S exprimé en G dans la base (\overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{y_1},\overrightarrow{z_1}) est de la
forme :

[I(G,s)]=\left( \begin{array}{*{3}c}
A & 0 & 0 \\
0 & A & 0 \\
0 & 0 & A
\end{array}
\right)_{(\overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{y_1},\overrightarrow{z_1})}

(B) Le moment d’inertie du solide S exprimé en G autour de (\overrightarrow{x_1} est :

 M \frac{R^2} {4}

(C) Si le moment d’inertie du solide S exprimé en G autour de (\overrightarrow{x_1} est noté A, l’opérateur
d’inertie du solide S exprimé en O dans la base (\overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{y_1},\overrightarrow{z_1}) est :

[I(O,s)]=\left( \begin{array}{*{3}c}
A’ & 0 & 0 \\
0 & A’ & 0 \\
0 & 0 & A’
\end{array}
\right)_{(\overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{y_1},\overrightarrow{z_1})}

avec A’= A +  M \cdot R^2

(D) La résultante des actions mécaniques exercées par le bâti S_0 sur le solide S est :


\overrightarrow{R(S0 \rightarrow S)} = m \left(-R \cdot \dot{\theta}^2 \cdot \overrightarrow{x_1} + R\cdot  \ddot{\theta} \cdot \overrightarrow{y_1} + g \cdot  \overrightarrow{z_1}\right)


(E) Si le moment d’inertie du solide S exprimé en O autour de z0 est noté A’, l’équation du mouvement du solide S par rapport au référentiel galiléen :


A’ \cdot \ddot{\theta}= C