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Principe Fondamental de la Statique (PFS)

lundi 24 janvier 2005

Isolement d’un système matériel

Système matériel

On appelle système matériel un ensemble constitué de solides et de fluides que l’on souhaite étudier.
Système isolé


Un système isolé, est un système matériel que l’on rend distinct de son environnement. Le système isolé peut être une pièce mécanique, un ensemble de pièces, une partie de pièce, un fluide. L’isolement consiste à couper l’espace en deux parties disjointes afin de séparer, le système isole (E) de son environnement (\overline E ).

Concepts d’efforts extérieurs et intérieurs ;

Efforts extérieurs A\left( {\overline E  \to E} \right)

On appelle effort extérieur appliqué à un système matériel isolé, toutes les actions mécaniques agissant sur ce système, dont l’origine est à l’extérieur du système. Ces actions sont : soit des actions mécaniques de contact ; soit des actions à distances (gravité).

Efforts intérieurs A\left( {S_i  \in E \to S_j  \in E} \right)


Les efforts intérieurs sont les efforts que s’exercent mutuellement les différentes parties du système isolé.

Remarque : La notion d’efforts extérieurs et intérieurs ne dépend que de la frontière du système isolé.
Principe fondamental de la statique.

Equilibre d’un solide ;

On dit qu’un solide est en équilibre par rapport à un repère entre deux dates t1 et t2 si tous les points du système isolé sont invariants dans R0.
(E) en équilibre \forall M \in \left( E \right),\overrightarrow {V_{M \in E/R_0 } }  = \overrightarrow 0

Equilibre d’un ensemble de solide ;

Pour qu’un système composé d’un ensemble de solides soit en équilibre, il faut et il suffit que :
il soit en équilibre à l’instant de l’étude ;
chacun des solides qui le composent soit en équilibre.
Principe fondamental de la statique ;

Enoncé

|Il existe au moins un repère Galiléen tel que pour tout ensemble matériel (E) en équilibre par rapport à ce repère, le torseur représentatif des actions extérieures qui lui sont appliquées est égal au torseur nul. \left\{ {T_{\overline E  \to E} } \right\} = \left\{ 0 \right\} |

soit en prenant en compte chaque action extérieure : \left\{ {T_{\overline {E1}  \to E} } \right\} + \left\{ {T_{\overline {E2}  \to E} } \right\} + .... + \left\{ {T_{\overline {Ei}  \to E} } \right\} + ... + \left\{ {T_{\overline {En}  \to E} } \right\} = \left\{ 0 \right\}
puis en écrivant chaque torseur au même point : \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{\overline {E1}  \to E} } }  \\   {\overrightarrow {M_{A,\overline {E1}  \to E} } }  \\\end{array}} \right\}_A  + \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{\overline {E2}  \to E} } }  \\   {\overrightarrow {M_{A,\overline {E2}  \to E} } }  \\\end{array}} \right\}_A  + ... + \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{\overline {Ei}  \to E} } }  \\   {\overrightarrow {M_{A,\overline {Ei}  \to E} } }  \\\end{array}} \right\}_A  + ... + \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{\overline {En}  \to E} } }  \\   {\overrightarrow {M_{A,\overline {En}  \to E} } }  \\\end{array}} \right\}_A  = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow 0 }  \\   {\overrightarrow 0 }  \\\end{array}} \right\}_A
\sum\limits_{i = 1}^n {\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{\overline {Ei}  \to E} } }  \\   {\overrightarrow {M_{A,\overline {Ei}  \to E} } }  \\\end{array}} \right\}_A }  = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow 0 }  \\   {\overrightarrow 0 }  \\\end{array}} \right\}_A

Remarque : le principe fondamental de la statique n’est énoncé que dans un repère Galiléen, compte tenu des mécanismes étudiés et dans la mesure ou la durée de l’étude est courte, un repère lié à la terre est une bonne approximation d’un repère Galiléen. La notion de repère Galiléen sera développé dans le cours de Dynamique.
théorèmes généraux

Théorème de la résultante statique

Nous avons :\left\{ {T_{\overline E  \to E} } \right\} = \left\{ 0 \right\} ou en décomposant \sum\limits_{i = 1}^n {\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{\overline {Ei}  \to E} } }  \\   {\overrightarrow {M_{A,\overline {Ei}  \to E} } }  \\\end{array}} \right\}} _A  = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow 0 }  \\   {\overrightarrow 0 }  \\\end{array}} \right\}_A
Pour tout ensemble matériel (E) en équilibre par rapport à un repère Galiléen, la résultante du torseur représentatif des actions extérieures appliquées à (E) est un vecteur nul
Le théorème s’écrit : \overrightarrow {R_{\overline E  \to E} }  = \overrightarrow 0 soit en décomposant \sum\limits_{i = 1}^n {\overrightarrow {R_{\overline {Ei}  \to E} } }  = \overrightarrow 0
Théorème du moment statique
Pour tout ensemble matériel (E) en équilibre par rapport à un repère Galiléen, le moment du torseur représentatif des actions extérieures appliquées à (E) est un vecteur nul .
Le théorème s’écrit : \overrightarrow {M_{A,\overline E  \to E} }  = \overrightarrow 0 soit en décomposant \sum\limits_{i = 1}^n {\overrightarrow {M_{A,\overline {Ei}  \to E} } }  = \overrightarrow 0
Remarque :

La condition \left\{ {T_{\overline E  \to E} } \right\} = \left\{ 0 \right\} appliquée à un ensemble de solides n’implique pas que l’ensemble est en équilibre. Ex : paire de ciseaux le torseur des actions mécaniques extérieures sur la paire de ciseaux est nul mais les ciseaux s’ouvrent.

Ecriture scalaire du principe fondamental de la Statique
Pour un solide en équilibre dans un repère R0 on a : \left\{ {T_{\overline E  \to E} } \right\} = \left\{ 0 \right\} ou en décomposant \sum\limits_{i = 1}^n {\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{\overline {Ei}  \to E} } }  \\   {\overrightarrow {M_{A,\overline {Ei}  \to E} } }  \\\end{array}} \right\}} _A  = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow 0 }  \\   {\overrightarrow 0 }  \\\end{array}} \right\}_a
En faisant apparaître les coordonnées de chaque vecteurs on obtient
\sum\limits_{i = 1}^n {\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{\overline {Ei}  \to E} }  = X_i  \cdot \overrightarrow x  + Y_i  \cdot \overrightarrow y  + Z_i  \cdot \overrightarrow z }  \\   {\overrightarrow {M_{A,\overline {Ei}  \to E} }  = L_i  \cdot \overrightarrow x  + M_i  \cdot \overrightarrow y  + N_i  \cdot \overrightarrow z }  \\\end{array}} \right\}} _A  = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow 0 }  \\   {\overrightarrow 0 }  \\\end{array}} \right\}_A
\sum\limits_{i = 1}^n {\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {X_i } & {L_i }  \\   {Y_i } & {M_i }  \\   {Z_i } & {N_i }  \\\end{array}} \right\}_{A,\left( {\overrightarrow x ,\overrightarrow y ,\overrightarrow z } \right)} }  = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   0 & 0  \\   0 & 0  \\   0 & 0  \\\end{array}} \right\}_A cette relation donne 6 équations scalaires \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\sum\limits_{i = 1}^n {X_i  = 0} }  \\   {\sum\limits_{i = 1}^n {Y_i  = 0} }  \\   {\sum\limits_{i = 1}^n {Z_i  = 0} }  \\   {\sum\limits_{i = 1}^n {L_i  = 0} }  \\   {\sum\limits_{i = 1}^n {M_i  = 0} }  \\   {\sum\limits_{i = 1}^n {N_i  = 0} }  \\\end{array}} \right.
Pour un ensemble de Np solides en équilibre il faut écrire : 6*Np équations scalaires pour étudier l’équilibre. Le choix judicieux des systèmes matériels isolés permet d’écrire des systèmes d’équations plus ou moins faciles à résoudre.

Théorème des actions réciproques.


Soit un système matériel (E)composé de deux solides E=E1+E2.

Le (PFS) appliqué successivement à (E1), (E2) et (E) s’écrit :

- On isole E1
\left\{ {T_{\overline {E_1 }  \to E_1 } } \right\} = \left\{ 0 \right\}
s‘écrit aussi en faisant apparaître le solide 2
\left\{ {T_{\left( {\overline E  + E_2 } \right) \to E_1 } } \right\} = \left\{ 0 \right\}

a) \left\{ {T_{\overline E  \to E_1 } } \right\} + \left\{ {T_{E_2  \to E_1 } } \right\} = \left\{ 0 \right\}

- On isole E2
\left\{ {T_{\overline {E_2 }  \to E_2 } } \right\} = \left\{ 0 \right\}
s‘écrit aussi en faisant apparaître le solide 1
\left\{ {T_{\left( {\overline E  + E_1 } \right) \to E_2 } } \right\} = \left\{ 0 \right\}

b) \left\{ {T_{\overline E  \to E_2 } } \right\} + \left\{ {T_{E_1  \to E_2 } } \right\} = \left\{ 0 \right\}

- On isole E
\left\{ {T_{\overline E  \to E_2 } } \right\} = \left\{ 0 \right\}
s‘écrit aussi en faisant apparaître les solides 1 et 2
\left\{ {T_{\left( {\overline E } \right) \to \left( {E_1  + E_2 } \right)} } \right\} = \left\{ 0 \right\}
c) \left\{ {T_{\overline E  \to E_1 } } \right\} + \left\{ {T_{\overline E  \to E_2 } } \right\} = \left\{ 0 \right\}
(a)+(b)-(c)
on obtient
\left\{ {T_{E_1  \to E_2 } } \right\} + \left\{ {T_{E_2  \to E_1 } } \right\} = \left\{ 0 \right\}
\left\{ {T_{E_1  \to E_2 } } \right\} =  - \left\{ {T_{E_2  \to E_1 } } \right\}
d’où le théorème des actions réciproques
L’action mécanique du système (E1) sur le système (E2) est opposée à l’action mécanique de (E2) sur (E,). : \left\{ {T_{E_1  \to E_2 } } \right\} =  - \left\{ {T_{E_2  \to E_1 } } \right\}

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