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Frottement : Lois de Coulomb

mercredi 19 janvier 2005

Contact avec frottement-modèle local :

Nous avons lors d’un contact entre deux solides : :
d\overrightarrow {F\left( M \right)}  = f(M) \cdot \vec u_{(M)}  \cdot ds = \left( { - p(M) \cdot \vec n_{(M)}  + q(M) \cdot \vec t_{(M)} } \right)ds
p(M) : pression de contact au point M
\vec n_{(M)}  : vecteur unitaire normal au plan tangent dirigé vers l’extérieur du solide étudié.
q(M):répartition tangentielle de l’effort.
\vec t_{(M)}  : vecteur unitaire contenu dans le plan tangent.
Pour déterminer complètement la fonction de répartition surfacique, il faut déterminer 3 inconnues, p(M), q(M) et la direction \vec t_{(M)}
Les lois de Coulomb permettent de déterminer la direction de l’action tangentielle et une relation entre p(M) et q(M) suivant que les deux solides en contact sont ou non en mouvement.
Lois de Coulomb

On distingue deux cas :
Vitesse de glissement non nulle en M \overrightarrow {V_{M \in S_1 :S_2 } }  \ne \overrightarrow 0

Lorsqu’il y a glissement en M entre les deux solides S1 et S2 , la densité surfacique tangentielle q(M). \vec t_{(M)} a une direction opposée à la vitesse de glissement de S1/S2 et la norme de la densité surfacique tangentielle q(M) est proportionnelle à la norme de la densité surfacique normale p(M au point de contact M. On a donc :
{\rm{q(M) }} = {\rm{ f }} \cdot {\rm{ p(m)}}, avec f coefficient de frottement en M entre S1 et S2
la direction de la composante tangentielle est donnée par : \overrightarrow t _{\left( M \right)}  =  - \frac{{\overrightarrow {V_{M \in S_1 :S_2 } } }}{{\left\| {\overrightarrow {V_{M \in S_1 :S_2 } } } \right\|}}
\overrightarrow {dF\left( M \right)}  = \left( { - p\left( M \right) \cdot \overrightarrow n  + f \cdot p\left( M \right) \cdot \overrightarrow t _{\left( M \right)} } \right)ds
\overrightarrow {dF\left( M \right)}  = p\left( M \right) \cdot \left( { - \overrightarrow n  + f \cdot \overrightarrow t _{\left( M \right)} } \right)ds
On note{\rm{tan(}}\varphi {\rm{) }} = {\rm{ f}}, on appelle cône de frottement le cône de révolution de demi-angle au sommet .
Le coefficient de frottement est fonction principalement du couple de matériaux en contact, de la rugosité, de la lubrification.
Pendant le mouvement l’action élémentaire de contact est située sur cône de frottement.


Vitesse de glissement nulle en M \overrightarrow {V_{M \in S_1 :S_2 } }

Lorsqu’il n’y a pas de mouvement relatif entre les deux solides, on ne connaît pas
la direction de l’action élémentaire de contact. On sait seulement que cette action est à l’intérieur du cône d’adhérence en M Le coefficient d’adhérence est f_a  = \tan \left( {\varphi _a } \right),
avec \varphi _a 1/2 angle au sommet du cône d’adhérence
{\rm{q (M) }} \le {\rm{ f}}_{\rm{a}} {\rm{ }} \cdot {\rm{p(M)}}
q(M) n’est connu que par une inégalité {\rm{q (M) }} \le {\rm{ f}}_{\rm{a}} {\rm{ }} \cdot {\rm{p(M)}}pour déterminer q(M), il est en général nécessaire de faire des hypothèses supplémentaires ou de se placer aux limites du fonctionnement

Quelques valeurs

Matériaux en contact Coefficient
d’adhérence
Coefficient
de frottement
acier/acier 0.15 à 0.25 0.12 à 0.2
acier/fonte 0.12 0.2 0.08 0.15
acier/bronze 0.15 0.2 0.12 0.2
acier/ferodo (plaquette de frein) 0.3 0.4 0.25 0.35
acier / PTFE (Téflon) 0.08 » 0.4 0.02 0.08
pneu/revêtement routier 0.6 1.2 0.3 0.6

Le coefficient d’adhérence est en général légèrement supérieur au coefficient
de frottement.
Lorsque le coefficient d’adhérence n’est pas connu on prend le coefficient de
frottement.
Représentation globale

On se propose de modéliser l’action mécanique de contact entre S1 et S2 dans le cas du frottement.
Dans le cas général le torseur d’action mécanique s‘écrit : \left\{ {F_{2 \to 1} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{2 \to 1} }  = \int\limits_S {d\overrightarrow {F\left( M \right)} } }  \\   {\overrightarrow {M_{A,2 \to 1} }  = \int\limits_S {\overrightarrow {AM}  \wedge d\overrightarrow {F\left( M \right)} } }  \\\end{array}} \right\}_A soit en remplaçant \overrightarrow {dF\left( M \right)}  = p\left( M \right) \cdot \left( { - \overrightarrow n  + f \cdot \overrightarrow t \left( M \right)} \right)ds

\left\{ {F_{2 \to 1} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{2 \to 1} }  = \int\limits_S {p\left( M \right) \cdot \left( { - \overrightarrow n  + f \cdot \overrightarrow t _{\left( M \right)} } \right)ds} }  \\   {\overrightarrow {M_{A,2 \to 1} }  = \int\limits_S {\overrightarrow {AM}  \wedge \left( {p\left( M \right) \cdot \left( { - \overrightarrow n  + f \cdot \overrightarrow t _{\left( M \right)} } \right)ds} \right)} }  \\\end{array}} \right\}_A

Le calcul des ces intégrales donne : \left\{ {{\rm{F}}_{2 \to 1} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{R}}_{2 \to 1} }  = N_{2 \to 1}  \cdot \vec n + \overrightarrow {T_{2 \to 1} } }  \\   {\overrightarrow {{\rm{M}}_{A,2 \to 1} }  = Mp_{2 \to 1}  \cdot \vec n + \overrightarrow {Mr_{2 \to 1} } }  \\\end{array}} \right\}_A
avec

- N_{2 \to 1} composante normale de la résultante

- \overrightarrow {T_{2 \to 1} } composante tangentielle de la résultante

- Mp_{2 \to 1} Composante normale du moment du torseur d’action mécanique (couple de résistance au pivotement autour de la normale)

- \overrightarrow {Mr_{2 \to 1} } composante tangentielle du moment du torseur d’action mécanique (couple de résistance au mouvement de rotation)

cas 1 : pas de Frottement :
f=0 donc\overrightarrow {{\rm{R}}_{2 \to 1} }  = N_{2 \to 1}  \cdot \vec n et \overrightarrow {T_{1 \to 2} }  = \vec 0
cas 2 : glissement f*0
alors \overrightarrow {V_{A \in 1/2} }  \ne \vec 0 mais \overrightarrow {V_{A \in 1/2} }  \cdot \vec n = 0 (maintien du contact)
donc \overrightarrow {T_{2 \to 1} }  \wedge \overrightarrow {V_{A \in 1/2} }  = \vec 0 (colinéaires) mais de sens opposés \overrightarrow {T_{2 \to 1} }  \cdot \overrightarrow {V_{A \in 1/2} }  \le 0
Le module de l’effort tangentiel est s’il y a glissement \left\| {\overrightarrow {T_{2 \to 1} } } \right\| = f \cdot \left| {N_{2 \to 1} } \right| avec
cas 3 : Roulement sans glissement, f*0
\overrightarrow {V_{A \in 2/1} }  = \vec 0, on a \left\| {\overrightarrow {T_{2 \to 1} } } \right\| \le f \cdot \left| {N_{2 \to 1} } \right|, la direction n’est pas connue.
Etude du Moment : Couple de résistance au pivotement et au roulement.

Par analogie avec le frottement de glissement, on définit une résistance au pivotement et au roulement.
Les lois de contact entre deux solides sont complexes, et des lois semblables aux lois de Coulomb pour les frottements de glissement ont été formulés pour modéliser les phénomènes de résistance au pivotement et au roulement
Ces couples interviennent dès que le contact ne peut plus être considéré comme ponctuel mais suivant une surface localisée.
Données
Soit deux solides S2 et S1 en contact
Le torseur cinématique du mouvement d’un solide 2 par rapport à une solide 1 s’écrit \left\{ {V_{2/1} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {\Omega _{2/1} }  = \Omega p_{2/1}  \cdot \overrightarrow n  + \overrightarrow {\Omega r_{2/1} } }  \\   {\overrightarrow {V_{I,2/1} } }  \\\end{array}} \right\}_I avec

  •  \cdot \overrightarrow n normale en I au contact
  • \Omega p_{2/1} composante de pivotement du vecteur rotation de 2/1
  • \overrightarrow {\Omega r_{2/1} } composante de roulement du vecteur rotation de 2/1
    Le torseur des effort transmissibles de 1->2 s’écrit :
    \left\{ {F_{1 \to 2} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {R_{1 \to 2} }  = N_{1 \to 2}  \cdot \overrightarrow n  + \overrightarrow {T_{1 \to 2} } }  \\   {\overrightarrow {M_{I,1 \to 2} }  = Mp_{1 \to 2}  \cdot \overrightarrow n  + \overrightarrow {Mr_{1 \to 2} } }  \\\end{array}} \right\}_I avec
  • N_{1 \to 2} Composante normale
  • \overrightarrow {T_{1 \to 2} } Composante tangentielle
  • Mp_{1 \to 2} couple de résistance au pivotement
  • \overrightarrow {Mr_{1 \to 2} } couple de résistance au roulement
    Couple de résistance au roulement.
    Les lois de Coulomb pour le roulement s’écrivent :
    S2 ne roule pas sur S1 \overrightarrow {\Omega r_{2/1} }  = \overrightarrow 0
    Alors le couple de roulement vérifie la relation suivante \left\| {\overrightarrow {Mr_{1 \to 2} } } \right\| \le h \cdot \left| {N_{1 \to 2} } \right|
    S2 roule sur S1 \overrightarrow {\Omega r_{2/1} }  \ne \overrightarrow 0
    Alors \left\| {\overrightarrow {Mr_{1 \to 2} } } \right\| = h \cdot \left| {N_{1 \to 2} } \right| avec h Coefficient de résistance au roulement
    Couple de résistance au pivotement.
    Les lois de Coulomb pour le pivotement s’écrivent :
    S2 ne pivote pas sur S1 \Omega p_{2/1}  = 0
    Alors : le couple de Pivotement vérifie la relation \left| {Mp_{1 \to 2} } \right| \le k \cdot \left| {N_{1 \to 2} } \right|
    S2 pivote sur S1 \Omega p_{2/1}  \ne 0
    Alors \left| {Mp_{1 \to 2} } \right| = k \cdot \left| {N_{1 \to 2} } \right|

Contact ponctuel parfait- modèle global

Soient deux solides en contact ponctuel en I
Le torseur d’action de contact s’écrit
\left\{ {{\rm{F}}_{1 \to 2} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\overrightarrow {{\rm{R}}_{1 \to 2} }  = N_{1 \to 2}  \cdot \vec n + \overrightarrow {T_{1 \to 2} } }  \\   {\overrightarrow 0 }  \\\end{array}} \right\}_I
avec N_{1 \to 2}  \cdot \vec n la composante normale en I de l’action de contact de S1 sur S2 et \overrightarrow {T_{1 \to 2} }  = T_{12}  \cdot \overrightarrow t _{\left( I \right)} la composante tangentielle
si \overrightarrow {V_{I \in S_2 /S_1 } }  \ne \overrightarrow 0 alors :
\left| {T_{1 \to 2} } \right| = f \cdot \left| {N_{1 \to 2} } \right| et \overrightarrow t _{\left( I \right)}  =  - \frac{{\overrightarrow {V_{I \in S_2 /S_1 } } }}{{\left\| {\overrightarrow {V_{I \in S_2 /S_1 } } } \right\|}}

Messages

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    lutti60
    Angel-y-Demonio@hotmail.fr

  • bonjour,
    je n’ai pa les bons neurones pour discuté de tous ces calculs. Nous faisons du catapultage humain, le schéma est trés simple un contre poids de 20 t relié àun palan à14 poulies tombe de 4 mètres donc celui-i tire sur 56 mètres aprés une petite craquette de 13 g nous avons 5 à6g constant et cela nous permet de propulser une personne àune hauteur d’environ de 150 mètres de haut, ouverture du pararchute et le tour et joué...
    Nous avons des problèmes de frottements la question : si nos cordages frottés sur une pièce en forme de cornet de trompette qu’elle résultat ???
    Notre histoire paraît folle mais cela marche mon mail sylvestre.condamin@wanadoo.fr
    merci de votre réfléxion

  • Des expérimentations pratiques semblent avoir montré que le coefficient de frottement diminue avec la vitesse du déplacement relatif. Existe -t’il à ce sujet une explication et une formulation théoriques ou à défaut une formule empirique ?

  • pourquoi ds le vide le coefficient de frottement est infrieure à celui qui ds l’air ambiante ????

    • parce que dans le vide, pas de matiere=pas de frottements !!!

    • je ne confirme ni n’infirme cette affirmation, pour ce qui est du frottement dans le vide, je ne sais pas s’il y a une différence.

    • La différence tient en plusieurs points. outre que dans le vide, l’effet aérodynamique soit nul (ce qui ne fait pas tout mais n’est pas minime dans certain cas). Il faut surtout tenir compte des effets qu’étudie la tribologie. En absence d’oxygène, la formation d’oxyde avec la chaleur dissipé ne se produit pas. Or ces oxydes peuvent jouaient le rôle de troisième corps i.e. un film fin qui est en contact avec les deux corps en frottement et les "sépare" plus ou moins. Selon la rugosité des corps, la granulométrie des composants (débris) du troisième corps, on assiste à une lubrification ou une abrasion des surface.

      Toutes ces considérations ne peuvent pas s’appliquer à tout. c’est tout le bonheur de la tribologie comme on dit Dieu a crée les volume mais c’est le diable qui a fait les surfaces. Néanmoins, il faut retenir que dans le vide, de nombreux mécanismes d’usures sont limités si ce n’est interrompus, il y’a donc réduction des intéractions entre les corps et donc diminution du coefficient de frottement.

    • j’ai une suposition a soumettre, la pression athmospherique est une force non négligeable, meme si nous ne nous en rendons pas compte dans la vie il sufit de voir ce qui se passe si on essaye d’ouvrir une cloche sous vide, ou même de regarder la possibilité de traction offerte par les ventouses, dans le vide ces forces sont nules donc ça fait deja ça de moins en frotement

    • la pression atmosphérique agit des deux côtés, elle n’a donc pas d’influence...comme dit plus haut, la différence avec le vide doit vraisemblablement venir d’une réaction de surface avec l’air.