Applications - Statique

Actions mécaniquesTorseur statiquePFS

Problème spatiaux ;

L’étude générale d’un système est un problème spatial, c’est à dire un problème dont l’étude nécessite l’écriture pour chaque solide étudié de 6 équations scalaires.
Problèmes plans ;

Un problème est dit plan si toutes les résultantes des torseurs associés aux actions mécaniques appartiennent à un même plan et si leurs moments sont normaux à ce plan. Le torseur général de l’action mécanique d’un solide 1 sur un solide 2 dans cas d’un problème plan s’écrit :
\sum\limits_{i = 1}^n {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {X_i } & {\left[ 0 \right]} \\ {Y_i } & {\left[ 0 \right]} \\ {\left[ 0 \right]} & {N_i } \\\end{array}} \right\}} _{A,\left( {\overrightarrow x ,\overrightarrow y \overrightarrow z } \right)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{array}} \right\}_A avec A point du plan et \overrightarrow x et \overrightarrow y vecteurs directeurs du plan.
L’étude d’un problème plan est réalisé en écrivant seulement 3 équations scalaires (2 pour la résultante, 1 pour le moment).
Pour l’étude d’un système composé de Np pièces, dans le cas d’un système plan, il suffit écrire 3*Np équations pour résoudre le système.
Solide soumis à 2 « forces »

Si un solide (S) est en équilibre sous l’effet de deux actions représentables par des torseurs glisseurs, ces deux glisseurs sont directement opposés :
ils ont le même support ;
les valeurs algébriques de leurs résultantes sont opposées.

Solide soumis à 3 « forces »


Si un solide (S) soumis à trois actions modélisables par des glisseurs, est en équilibre, ceux-ci sont :
coplanaire ;
concourantes ou parallèles ;
de somme vectorielle nulle.

Méthode de résolution des problèmes.

Schéma de principe +graphe des liaisons.

Tracer le schéma de principe de l’ensemble à étudier, à partir du schéma cinématique minimal (regrouper les pièces en liaison encastrement), en supprimant les pièces intermédiaires (roulement, ) et en rajoutant les pièces déformables (ressort, courroie, ...). Si le mécanisme est plan on préférera un schéma plan. Numéroter sur ce schéma les différentes pièces
Actions mécaniques extérieures

Ecrîre le torseur correspondant à chaque action mécanique extérieure(pression, pesanteur, ressort) et préciser son point d’action (réduire le torseur à un glisseur si cela est possible).
Repère et paramétrage

Tracer les repères caractéristiques des liaisons
Problème plans

Si le problème peut être considéré comme un problème plan formuler les hypothèses permettant cette simplification (à vérifier par la suite) et limiter l’écriture aux équations dans le plan.
Liaisons

Ecrire dans le repère idéal le torseur d’action mécanique de chaque liaison en faisant apparaître chaque inconnue. Dans le cas d’une étude systématique du système on écrira ce torseur dans le repère d’étude du mécanisme. cette méthode systématique fait apparaître plus d’équations mais liées. On restera dans le repère idéal pour une étude plus locale. Dans le cas d’un problème plan on n’écrit que les trois équations correspondantes. Faire le bilan des toutes les inconnues de liaisons. Un système ne peut être résolu que si le nombre d’inconnus est inférieur ou égal au nombre d’équations indépendantes.
Définir les sous ensembles d’étude sur lesquels appliquer le PFS

Les systèmes à isoler doivent être définis précisément avant d’appliquer le PFS (effort extérieurs), isoler en priorité : les ensembles soumis à 2 glisseurs ( direction des glisseurs les ensembles soumis à 3 glisseurs (Point de concours ou glisseurs
Résolution

Préférer la résolution de proche en proche plutôt qu’une résolution globale) Le choix du point de réduction des torseurs est important, préférer un point de réduction ou les résultantes sont inconnus.
Statisme :

Si le système est isostatique, (autant d’équations que d’inconnues), la résolution est possible. Si le système est hyperstatique (plus d’inconnues que d’équation) la résolution n’est possible qu’en formulant des hypothèses complémentaires (frottement, déformation...)

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